ข้อสงสัยเรื่องการแยกเศษส่วน

[Scylla_Shadow]

คือผมมีข้อสงสัยว่า การแตกเศษส่วนมันมีมากกว่า 1 วิธีที่ทำให้ได้เศษส่วนจำนวนเดียวกันใช่ไหมครับ?? ตามลิงค์ครับ

http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra03p01.shtml

คือผมไปอ่านเรื่องการแตกเศษส่วนที่หน้าเว็บมา ผมเองก็สมสัยว่า

$\frac{1}{a\cdot b} \ = \ \frac{1}{b-a}(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$

อันนี้ไม่สงสัยครับ แต่ ตามตัวอย่างครับ $\frac{2}{35} \ = \ \frac{1}{5}-\frac{1}{7}$

ในกรณีเดียวกันผมก็คิดได้ว่า $\frac{2}{35} \ = \ \frac{1}{17}- \frac{1}{17\cdot 35}$ เป็นจริง

และอื่นๆอีก $\frac{2}{35} \ = \ \frac{1}{18}+\frac{1}{18\cdot 35} $

ผมเองรู้สึกสงสัยว่าจำนวนวิธีการแยกเศษส่วนจำนวนเดียวกันที่แตกต่างกันจะมีทั้งหมดกี่วิธีอ่ะครับ

ถ้าแค่แตกออกมาให้เป็นเศษส่วน 2 จำนวนบวกกันอ่ะครับ

[nooonuii]

สมมติจำนวนที่จะแตกออกมาคือ $\dfrac{a}{b}$ ซึ่งสมมติว่าอยู่ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ

ต่อไปก็ลองตั้งสมการ

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{a}{b}$

แล้วก็ลองแก้สมการหาค่า $x,y$ ออกมา

สมมติว่าอยากได้คำตอบ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวกนะครับ

เขียนสมการข้างบนใหม่จะได้

$bx+by=axy$

$a^2xy-abx-aby=0$

$a^2xy-abx-aby+b^2=b^2$

$(ax-b)(ay-b)=b^2$

ดังนั้นเราจะได้ว่า $ax-b,ay-b$ เป็นตัวประกอบของ $b^2$

เราก็ลองแยกตัวประกอบของ $b^2$ แล้วหาตัวประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด

จากนั้นก็แก้ระบบสมการเพื่อหาค่า $x,y$ ที่เหมาะสม

สมมติว่า ตัวประกอบตัวหนึ่งของ $b^2$ คือ $d$ จะได้ว่าอีกตัวก็คือ $\dfrac{b^2}{d}$

เราก็ตั้งสมการให้

$ax-b=d$

$ay-b=\dfrac{b^2}{d}$

จะได้

$x=\dfrac{b+d}{a}$

$y=\dfrac{b^2+bd}{ad}$

ตัวอย่าง สมมติว่า $a=2,b=35$

$b^2=5^2\cdot 7^2$

ตัวประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $\pm 1,\pm 5,\pm 5^2,\pm 7, \pm 7^2, \pm 5\cdot 7, \pm 5\cdot 7^2, \pm 5^2\cdot 7, \pm 5^2\cdot 7^2$

เมื่อลองแทนค่าตัวประกอบเหล่านี้ไปเรื่อยๆแล้วเลือกคำตอบ $x,y$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้

$(x,y)=(18,630),(20,140),(30,42),(21,105),(42,30),(35,35)$

อันนี้ไม่นับคู่อันดับที่เกิดจากการสลับที่ $(x,y)$ เป็น $(y,x)$ นะครับ

ผมนับ $(18,630)$ กับ $(630,18)$ เป็นอันเดียวกัน

[Scylla_Shadow]

ขอบคุณมากๆครับ