#1
|
||||
|
||||
ช่วยหน่อยครับ
ให้ $a,b,c\in R^+$ จงแสดงว่า
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$$ ช่วยหน่อยนะครับ |
#2
|
||||
|
||||
proof
$\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$ $=\frac{1}{\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{\frac{b+c}{2}}+\frac{1}{\frac{c+a}{2}}$ จาก AM-GM Inequality จะได้ $\frac{1}{\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{\frac{b+c}{2}}+\frac{1}{\frac{c+a}{2}}\leq \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}$ เนื่องจากอสมการมีความสมมาตรในตัวแปร กำหนดให้ $a \geq b \geq c$ จะได้ $\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$$
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! 14 ธันวาคม 2008 20:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warutT |
#3
|
||||
|
||||
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}$
|
#4
|
||||
|
||||
อีกวิธีครับ อธิบายของคุณ dektep ครับ
จาก $(a-b)^2 \geq 0$ $a^2-2ab+b^2 \geq 0$ $a^2+2ab+b^2 \geq 4ab$ $(a+b)^2 \geq 4ab$ $\frac{a+b}{ab}=\frac{4}{a+b}$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{4}{a+b}$ ในทำนองเดียวกันจะได้ $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{b+c}$ $\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=\frac{4}{c+a}$ นำสามอสมการมาบวกกัน $$\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\geqslant \frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}$$ $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$$
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! |
#5
|
||||
|
||||
ขอบคุณ คุณwarutTและคุณdektepมากๆครับ
|
|
|