|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Nice but very easy
ใช่แล้ว มันง่ายแต่สวยมากเลย ผมหลงมันมาสองวันแล้ว
ให้ $$\displaystyle{A=\{\frac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\mid x,y,z>0\}}$$ จงแสดงว่า $$A=\left(0,\frac{9}{8}\right]$$
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ |
#2
|
||||
|
||||
$0 < \frac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)} \le \frac{9}{8}$
ซึ่งจริงโดย am-gm ; $\sum_{sym}a^2b \ge 6abc$ |
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
หลงมากๆระวังจะเสียใจในภายหลังนะครับ $A=\left(1,\dfrac{9}{8}\right]$ จากเอกลักษณ์ $(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$ จะเห็นได้ชัดว่า $\dfrac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}>1$ อสมการ $\dfrac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq\dfrac{9}{8}$ สมมูลกับอสมการ $(x+y+z)(xy+yz+zx)\geq 9xyz$ ซึ่งมาจากอสมการ AM-HM แต่โจทย์ข้อนี้พิสูจน์อสมการอย่างเดียวไม่พอครับ ต้องทำต่อด้วย สมมติว่า $1<r\leq \dfrac{9}{8}$ ให้ $x=y=1,z=\dfrac{5-4r\pm\sqrt{9-8r}}{4r-4}$ จะได้ $\dfrac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=r$ ดังนั้น $A=(1,\dfrac{9}{8}]$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
||||
|
||||
\[\sum_{sym}x^2y\geqslant 6xyz\Rightarrow 8\sum_{sym}x^2y+24xyz\leqslant 9\sum_{sym}x^2y+18xyz\]
\[\Rightarrow 8(x+y+z)(xy+yz+zx)\leqslant 9(x+y)(y+z)(z+x)\]อืม... สวยดีนะครับ 07 พฤศจิกายน 2008 21:32 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ The jumpers |
#5
|
||||
|
||||
อ่า... อสมการนี้มีประโยชน์มากครับนำไปช่วยพิสูจน์ Carlson's Inequality ได้ด้วย
$$\sqrt[3] {\frac {(a+b)(b+c)(c+a)}{8}} \geq \sqrt {\frac {ab+bc+ca}{3}}$$
__________________
PHOENIX
NEVER DIE |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Vert very Easy | Anonymous314 | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น | 13 | 29 เมษายน 2011 22:08 |
very easy! | tatari/nightmare | เรขาคณิต | 5 | 26 มิถุนายน 2008 20:15 |
Easy Or Not | Uranus Hunter | อสมการ | 4 | 25 มิถุนายน 2008 00:55 |
HArd Or EAsy? | tatari/nightmare | อสมการ | 3 | 17 พฤษภาคม 2008 08:41 |
very easy problem | wee | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 4 | 21 กุมภาพันธ์ 2005 12:52 |
|
|