|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Creating Function
Let $x,y,z$ are posive real numbers such that $x+y+z+x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$. Prove that
$$4 > x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq 3$$ (Hint : Strictly Convex function.)
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ 06 กันยายน 2008 19:32 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Spotanus |
#2
|
||||
|
||||
Creating Function 2
Let $x,y,z$ be positive real numbers such that $x+y+z+xy+yz+zx=6$. Prove that
$$36 > x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq 3$$
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ |
#3
|
||||
|
||||
Creating Function 3
Let $n$ be a natural number and $x_{i} \left(i=1,2,...,n\right)$ be positive real numbers such that
$$\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} =n$$. Prove that $$n \geq \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \geq \sqrt{n}$$. And find all possible cases which make right equality holds.
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ 06 กันยายน 2008 19:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Spotanus |
#4
|
||||
|
||||
Creating Function 4
Let $x_{1},x_{2},...,x_{5}$ be non-negative real numbers such that
$$\sum_{n = 1}^{5} 2^{x_{i}}+x_{i} =15 $$. Prove that $$5 \geq \sum_{n = 1}^{5} x_{i} \geq 3$$
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก (Vasc's) $$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$ |
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$x_1+x_2+\cdots+x_n\leq\sqrt{n(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)}=n$ จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ $(x_1+\cdots+x_n)^2=(x_1^2+\cdots+x_n^2)+2\sum_{i<j}x_ix_j>n$ สมการเกิดขึ้นไม่ได้ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 06 กันยายน 2008 21:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#6
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$2<x+y+z\leq 3$ จากเงื่อนไขโจทย์ $6=x+y+z+x^2+y^2+z^2\geq \dfrac{1}{3}(x+y+z)^2+x+y+z$ จัดรูปใหม่ได้ $(x+y+z-3)(x+y+z+6)\leq 0$ ดังนั้น $x+y+z\leq 3$ ต่อไปสมมติว่า $x+y+z\leq 2$ จะได้ $x^2+y^2+z^2 < (x+y+z)^2 \leq 4$ ดังนั้น $x+y+z+x^2+y^2+z^2 < 6$ ซึ่งขัดแย้ง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$\leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}+x^2+y^2+z^2$ (อสมการโคชี) $(\sqrt{x^2+y^2+z^2}+2\sqrt{3})(\sqrt{x^2+y^2+z^2}-\sqrt{3})\geq 0$ ดังนั้น $x^2+y^2+z^2\geq 3$ จากเงื่อนไขโจทย์ $x+y+z < x+y+z+xy+yz+zx = 6$ $(x+y+z)^2<36$ ดังนั้น $x^2+y^2+z^2<(x+y+z)^2<36$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 06 กันยายน 2008 23:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#8
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
โดยอสมการ AM-GM $\sum 2^{x_i}\geq 5\cdot 2^{\frac{\sum x_i}{5}}>10$ ดังนั้น $\sum (2^{x_i}+x_i)>10+5 = 15$ ซึ่งขัดแย้ง สมมติว่า $\sum x_i<3$ ให้ $y_i=\dfrac{x_i}{3}$ จะได้ $\sum y_i < 1$ โดย Weighted AM-GM inequality จะได้ $2^{y_i}=2^{y_i}\cdot 1^{1-y_i}\leq 2y_i+(1-y_i)=1+y_i$ ดังนั้น $2^{3y_i}\leq (1+y_i)^3$ $~~~~~=1+3y_i+3y_i^2+y_i^3$ $~~~~~<1+3y_i+3y_i+y_i$ $~~~~~=1+7y_i$ เราจึงได้ว่า $\sum 2^{x_i}=\sum 2^{3y_i}$ $~~~~~~~~<\sum (1+7y_i)$ $~~~~~~~~<12$ เพราะฉะนั้น $\sum (2^{x_i}+x_i)<12 + 3=15$ ซื่งขัดแย้ง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#9
|
||||
|
||||
โห พี่ nooonuii กวาดหมดทุกข้อเลยเหรอครับ
สุดยอดครับ 07 กันยายน 2008 14:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ dektep |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ถามหา function ที่ map จาก นี้ ไป ยัง นั่น ? | คนบ้า | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 4 | 13 มิถุนายน 2008 23:56 |
โจทย์function | dektep | พีชคณิต | 2 | 05 ตุลาคม 2007 23:48 |
ช่วยหาคำตอบFUNCTIONหน่อย | บาคุระ จัง | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 4 | 09 กุมภาพันธ์ 2006 17:29 |
คำถาม (function) | Nay | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 2 | 23 พฤษภาคม 2005 09:27 |
FUNCTION | GOD | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 2 | 14 มีนาคม 2002 16:45 |
|
|