สักข้อนะครับ สวยดี

[Maphybich]

ถ้า $a,b,c>0$ แล้ว จงพิสูจน์ว่า $a^ab^bc^c\geqslant (abc)^{\frac{a+b+c}{3}}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Maphybich

ถ้า $a,b,c>0$ แล้ว จงพิสูจน์ว่า $a^ab^bc^c\geqslant (abc)^{\frac{a+b+c}{3}}$

By Weighted AM-GM and AM-GM,

$\Big(\dfrac{1}{a}\Big)^{\dfrac{a}{a+b+c}}\Big(\dfrac{1}{b}\Big)^{\dfrac{b}{a+b+c}}\Big(\dfrac{1}{c}\Big)^{\dfrac{c}{a+b+c}}\leq \dfrac{3}{a+b+c}\leq \dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}$

[nooonuii]

Second Solution :

โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติว่า $a\leq b\leq c$

ดังนั้น

$a^{a-b}b^{b-c}c^{c-a}\geq b^{a-b}b^{b-c}b^{c-a}=1$

$a^ab^bc^c\geq a^bb^cc^a$

ในทำนองเดียวกัน

$a^ac^cb^b\geq a^cc^bb^a$

และ

$a^ab^bc^c \geq a^ab^bc^c$

ดังนั้น

$a^{3a}b^{3b}c^{3c}\geq (abc)^{a+b+c}$

[Maphybich]

ว้าวๆๆ วิธีแรกก็มีด้วยแฮะ ผมใช้วิธีที่สอง วิธีแรกลืมคิดเลย