|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
สมการเชิงฟังก์ชันครับ
ผมลองทำโจทย์ข้อนี้ดูครับ แต่ก็ไม่เข้าใจซักที รบกวนพี่ๆ ที่ทราบได้โปรดมาอธิบายด้วยครับ
IMO 1996/3 กำหนดให้ $f:\mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{N}_0$ จงหาฟังก์ชันทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $$f(m+ f(n)) = f(f(m)) + f(n), \forall m,n \in \mathbb{N}_0$$
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... |
#2
|
||||
|
||||
และนี่คือ solution ของมันครับ
ผมอยากทราบว่า fixed point คืออะไรครับ และก็มีประโยชน์อย่างไร เพราะผมเห็นโจทย์หลายข้อทำแบบนี้น่ะครับ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... 19 สิงหาคม 2008 19:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Art_ninja |
#3
|
||||
|
||||
แต่วิธีของผมเป็นอีกแบบนึงครับ
แทนค่า $m=n=0$ ลงไป เราจะได้ว่า $f(0)=0$ และถ้าแทนค่า $m=0$ จะได้ว่า $f(f(n))=f(n)$ ดังนั้นสมการของเรากลายเป็น $f(m+f(n))=f(m)+f(f(n)), \forall m,n \in \mathbb{N}_0$ โดยสมการโคชี จะได้ว่า $f(x)=0$ และ $f(x)=x$ ครับ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... |
#4
|
||||
|
||||
fixed point นั้นนิยามไว้ว่า:
$a$ จะเป็น fixed point ของ $f(x)$ ก็ต่อเมื่อ $f(a)=a$ วิธีของคุณ Art_ninja มีข้อผิดพลาดตรงที่ได้ $f(m+f(n))=f(m)+f(f(n))$ แล้วใช้สมการโคชีอ้างครับ สมการโคชีกล่าวว่าสำหรับ $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$ และ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ทุก $x,y\in\mathbb{Q}$ จะได้ $f(x)=cx;c\in\mathbb{Q},x\in\mathbb{Q}$ และขอเน้นย้ำว่า $x,y$ ต้องเป็นจำนวนตรรกยะใดๆ (หรือตาม domain ของ function นั้นๆ) คุณ Art_ninja จะต้องแสดงก่อนว่า $f(n)$ นั้นเป็นจำนวนเต็มบวกรวม $0$ ใดๆก็ได้ (นั่นก็คือ $f$ เป็นฟังก์ชัน onto ครับ) 20 สิงหาคม 2008 20:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ owlpenguin |
#5
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับ เข้าใจมากขึ้นเยอะิเลย
p.s.รบกวนคุณ owlpenguin พิสูจน์ว่าฟังก์ชันนี้ onto ด้วยได้ไหมครับ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... 20 สิงหาคม 2008 07:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Art_ninja |
#6
|
||||
|
||||
ไม่เข้าใจตรงที่ ตรงที่ใช้สมการโคชี กับ สมการในโจทย์ คือคิดว่า เซตของตรรกยะนั้นใหญ่กว่าจำนวนนับ+0 ยังไงก็ช่วยแนะด้วยครับ
|
#7
|
||||
|
||||
คือจริงๆแล้ว จะเป็น $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ , $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ หรือ $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$ ก็ได้ครับ หรือว่า $f:\mathbb{N}_0\rightarrow\mathbb{N}_0$ ก็ยังใช้สมการโคชีอ้างได้ครับ
แต่ถ้าเป็น $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ $f$ นั้นจะต้องมีคุณสมบัติืเพิ่มอย่างใดอย่างหนึ่งใน 3 อันนี้ครับ 1.ต่อเนี่อง 2.เป็นฟังก์ชันทางเดียว 3.มีขอบเขต ส่วนเรื่องจะให้พิสูจน์ว่า f ข้อนี้ onto นี่... จะลองคิดดูครับ แต่ว่าอาจจะคิดไม่ออกนะครับ ถ้าใครทำได้ก็ช่วยโพสต์นะครับ |
#8
|
||||
|
||||
ก็แสดงว่า คุณ art_ninga ก็น่าจะถูกนะครับ
|
#9
|
||||
|
||||
คือว่าสมการโคชีนั้นจะใช้อ้างได้ก็ต่อเมื่อ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ โดยที่ $x,y$ เป็นสมาชิกใดๆใน domain ของ $f$
แต่ว่าในกรณีนี้ มันเป็น $f(m+f(n))=f(m)+f(f(n))$ ให้ $f(n)=a$ $\therefore f(m+a)=f(m)+f(a)$ ซึ่งจริงๆแล้วสอดคล้องกับสมการโคชี แต่ว่าถ้า $f$ ไม่เป็น onto function จะได้ว่ามันต้องมีตัวเลขตัวหนึ่งที่ไม่สามารถเท่ากับ $a=f(n)$ ได้ แต่ก็ยังอยู่ใน domain ของ $f$ จึงได้ว่า a จะไม่เป็นตัวแปรที่สมบูรณ์ (ก็คือ a ไม่สามารถเป็นทุกค่าได้ใน domain ของ $f$ ถ้า $f$ ไม่ onto) ถ้าพูดแล้วงงๆ ก็ขออภัยมาละกันครับ 20 สิงหาคม 2008 20:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ owlpenguin |
#10
|
||||
|
||||
แหะๆๆๆ ลืมคิดไปว่า $f$ ไม่ onto ก็ได้
|
#11
|
||||
|
||||
ใช่แล้วครับ ดูจากเฉลยแล้ว มีฟังก์ชั่นที่ไม่ onto แต่สอดคล้องเงื่อนไขครับ
|
|
|