#1
|
||||
|
||||
อสมการ
$a,b,c > 0$ and $a+b+c=1$ prove that
$$\sum_{cyclic} \frac{a^2}{2a+b+c} \ge \frac{3}{8}(\frac{a+b+c}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c})$$ |
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
อสมการสมมูลกับ \[ \frac{3}{8}(a^2+b^2+c^2)+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\leq\frac{7}{8} \] โดย $a+b+c=1$ ให้ $F(a,b,c)=LHS$, $g(a,b,c)=a+b+c$ สมการ Lagrange multiplier $\nabla F=\lambda\nabla g$ คือ \[ \Big\langle\frac{3}{4}a+\frac{1}{(a+1)^2},\frac{3}{4}b +\frac{1}{(b+1)^2},\frac{3}{4}c+\frac{1}{(c+1)^2}\Big\rangle=\lambda\langle1,1,1\rangle \] แก้สมการได้ $a=b=c$ ดังนั้นค่าสูงสุดของ $F(a,b,c)$ เกิดขึ้นได้แค่บนขอบของโดเมน $g(a,b,c)=1$ หรือที่จุด $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ เนื่องจาก $F(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})=\frac{7}{8}$ และ $F_\max=\frac{7}{8}$ บนขอบ (เมื่อ $a=1$ หรือ $b=1$ หรือ $c=1$) ดังนั้นอสมการข้างบนเป็นจริงตามต้องการ |
#4
|
|||
|
|||
Prove
แทน a+b+c=1:7/3>=a^2+b^2+c^2 ซึ่งเป็นจริงจาก 7/3>=(a+b+c)^2>=a^2+b^2+c^2 |
#5
|
||||
|
||||
Vornicu-Schur คืออะไรครับ ผมงงมานานแล้ว
__________________
เป็นมนุษย์สุดจะดิ้นเพียงกลิ่นปาก จะได้ยากเป็นกลากเพราะปากเหม็น |
#6
|
||||
|
||||
ลองดูที่นี่ครับ
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.ph...ttach&id=10141 |
|
|