|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ช่วยเฉลยข้อนี้หน่อยครับ
ให้ \(x,y,z\geq 0\) ซึ่ง \(x+y+z=1\) จงแสดงว่า
\(\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\geq 8\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\) |
#2
|
|||
|
|||
กระจายทั้งสองข้างโดยข้างขวาให้สังเกตว่า $x+y=1-z$ จะได้อสมการสมมูลกับ $$7(xy+yz+zx)\leq 2 + 9xyz$$
ซึ่งเป็นข้อสอบ BMO ปีนึงครับผมจำปีไม่ได้แล้ว โจทย์ข้อนี้มีวิธีคิดเยอะมากๆครับ วิธีที่จะแสดงต่อไปนี้เป็นวิธีที่ผมชอบ ถ้้ายังไม่รู้จักอสมการต่อไปนี้ลองเปิดดูอสมการกึ่งสำเร็จรูปในกระทู้ปักหมุดของห้องนี้ดูนะครับ พิจารณาอสมการ $(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq xyz$ ใช้เงื่อนไขโจทย์ได้เป็น $(1-2x)(1-2y)(1-2z)\leq xyz$ กระจายแล้วจัดรูปได้ $4(xy+yz+zx)\leq 1+9xyz$ จากอสมการ $3(xy+yz+zx)\leq (x+y+z)^2$ จะได้ $3(xy+yz+zx)\leq 1$ ดังนั้น $7(xy+yz+zx)\leq 2+9xyz$ ตามต้องการ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
จาก $x+y+z=1$ เพราะฉะนั้น
$1+x=(x+y)+(z+x)$ $1+y=(y+z)+(x+y)$ $1+z=(z+x)+(y+z)$ ให้ $a=x+y, b=y+z, c=z+x$ อสมการที่เราต้องการจะกลายเป็น $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$ ซึ่งก็คือ AM-GM ธรรมดา
__________________
เป็นมนุษย์สุดจะดิ้นเพียงกลิ่นปาก จะได้ยากเป็นกลากเพราะปากเหม็น |
|
|