|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
รบกวนถามผู้รู้เกี่ยวกับ congruence และจำนวนเฉพาะ
ผมขอถามโจทย์เกี่ยวกับ congruence และจำนวนเฉพาะ หน่อยนะครับพอดีคิดไม่ออกครับ
1. ถ้า m และ n เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จงพิสูจน์ว่า $ m^{\phi (n)}+n^{\phi (m)} \equiv 1 \pmod{mn} $ 2. ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะและ $h+k = p-1$ เมื่อ $h \geq 0$ และ $k \geq 0$ จงพิสูจน์ว่า $h!k!+(-1)^{h} \equiv 0 \pmod{p}$ 3. ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า $a^{p} \equiv b^{p} \pmod{p} $ จงพิสูจน์ว่า $a^{p} \equiv b^{p} \pmod{p^{2}} $ 4. จงแสดงว่า ถ้า $p$ และ $p+2$ เป็นจำนวนเฉพาะคี่แล้ว $4[(p-1)!+1]+p \equiv 0 \pmod{p(p+2)} $ 5. ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p > 2$ จงพิสูจน์ว่า $1^{2}*3^{2}*5^{2}***(p-2)^{2} \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2} } \pmod{p} $ รบกวนผู้รู้ช่วยตอบด้วยนะครับ ขอบคุณมากๆ ครับ |
#2
|
|||
|
|||
Hint :
1. ใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์ และสังเกตว่า $m^{\phi(n)}+n^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$ $m^{\phi(n)}+n^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod{n}$ 2. เลียนแบบวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทของวิลสัน 3. ใช้ผลพลอยได้ของ Fermat's Little Theorem จะได้ $a^p \equiv a \pmod{p}$ $b^p \equiv b \pmod{p}$ ดังนั้น $a\equiv b \pmod{p}\Rightarrow a=b+kp$ บาง $k$ โดยทฤษฎีบททวินามจะได้ว่า $a^p=(b+kp)^p=...$ 4. ใช้ทฤษฎีบทของวิลสันพิสูจน์ว่า $4[(p-1)!+1]+p \equiv 0 \pmod{p}$ $4[(p-1)!+1]+p \equiv 0 \pmod{p+2}$ 5. เลียนแบบวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทของวิลสัน
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
ผมยังไม่ค่อยเข้าใจส่วนที่เหลือข้างบนครับ ช่วยแนะอีกนิดครับ ขอบคุณครับ
|
#4
|
|||
|
|||
ข้อ 2 กับ 5 เปลี่ยนจาก "เลียนแบบ" เป็น "ใช้" เลยดีกว่าครับ
2. $(p-1)!=h!(h+1)(h+2)\cdots (p-1)$ $=h!(p-k)(p-k+1)\cdots (p-1)$ $\equiv h!(-k)(-k+1)\cdots (-1)\pmod{p}$ $\equiv\cdots$ 4. Wilson's Theorem $(p+1)!\equiv -1\pmod{p+2}$ $(p+1)p(p-1)!\equiv - 1\pmod{p+2}$ $(-1)(-2)(p-1)!\equiv -1\pmod{p+2}$ $\vdots$ 5. $(p-1)!=1\cdot 3\cdots (p-2)\cdot 2\cdot 4\cdots (p-1)$ $\equiv 1\cdot 3\cdots (p-2)\cdot (2-p)\cdot (4-p)\cdots (-1)\pmod{p}$ $\equiv\cdots$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#5
|
||||
|
||||
ขอบคุณ คุณ nooonuii มากครับ ไว้คราวหน้าหากผมมีข้อสังสัยจะมาถามใหม่นะครับ
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
congruence | หยินหยาง | ทฤษฎีจำนวน | 4 | 11 ธันวาคม 2007 23:48 |
congruence | alexandre | ทฤษฎีจำนวน | 8 | 30 สิงหาคม 2007 20:16 |
ถามโจทย์congruence | CmKaN | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 3 | 07 มกราคม 2007 15:42 |
อยากทราบวิธีคิดแบบ congruence ของโจทย์ข้อนี้ | Pramote | ปัญหาคณิตศาสตร์ ประถมปลาย | 4 | 06 พฤษภาคม 2006 17:44 |
|
|