ให้ a,b,c เป็นจำนวนเต็มบวก...

[goodnews]

ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $a^2+b^2=c^2$ จงพิสูจน์ว่า $(a,b,c)=1$ ก็ต่อเมื่อ $(a,b)=(a,c)=(b,c) = 1$

[nooonuii]

Sketch of Proof :

$(\Rightarrow)$ สมมติว่า $(a,b)=k$ จะได้ว่า $k^2\mid c^2$ ดังนั้น $k$ เป็นตัวหารร่วมของ $a,b,c$ เพราะฉะนั้น $k=1$
อีกสองกรณีก็ทำแบบเดียวกัน
$(\Leftarrow)$ ให้ $d$ เป็นตัวหารร่วมของ $a,b,c$ จะได้ว่า $d=1$ เท่านั้น