|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
free abelian group
Let $C_i$ be an infinite cyclic group in additive notation generated by $a_i$for all $i\in I$. Prove that $\sum_{i\in I}C_i$is a free abelian group having $\{v_{i}|i\in I\}$as a basis, where for all $i\in I$,
$v_{i}=\{x_j\}_{j\in i}$ where $x_j=a_i ; i=j$ and $x_j=0 ; i\neq j$ Poof: We want to show that $\sum_{i\in I}C_i=<\{v_{i}|i\in I\}>$. Consider $<\{v_{i}|i\in I\}>=\{n_{i_1}v_{i_1}+n_{i_2}v_{i_2}+\cdots+ n_{i_k}v_{i_k}:i\in I,n_{i_j}\in \mathbb{Z},1\leq j \leq k\}$ (It's wrong or right) Clearly $\{v_{i}|i\in I\}>\subset \sum_{i\in I}C_i $. then I want to show $\sum_{i\in I}C_i \subset <\{v_{i}|i\in I\}>$. Please help show next step..... thank you for any help.
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ 17 กันยายน 2007 17:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
อ้างอิง:
Since $C_{i_k}$ is generated by $a_{i_k}$, $b_{i_k}=...$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
i.e. $x=\sum_{k=1}^n d_{i_k}a_{i_k}$. Since $v_{i_l}=a_{i_l}$ where $i_l=j_l$ and $v_{i_l}=0$ where $i_l \neq j_l , 1\leq l \leq n$ Wheter I conclude that $x\in \{n_{i_1}v_{i_1}+n_{i_2}v_{i_2}+\cdots+ n_{i_n}v_{i_n}:i\in I,n_{i_j}\in \mathbb{Z},1\leq j \leq n\}$ (Please help me check because I'm not sure) Finally, To see that does it is linearly independent. Let $v_{i_1}, v_{i_2},\ldots,v_{i_n}$ such that $n_{i_1}v_{i_1}+n_{i_2}v_{i_2}+\cdots+ n_{i_n}v_{i_n}=0$ (0 means (0,0,0,...,0) n component ?) Thus, $n_{i_1}a_{i_1}+n_{i_2}a_{i_2}+\cdots+ n_{i_n}a_{i_n}=0$ It follows that $n_{i_l}a_{i_l}=0$ for all $i\in I, 1\leq l\leq n$. But $a_{i_l}\neq 0$, (0 means the identity of $C_{i_l}$)then $n_{i_l}=0$ for all $i\in I, 1\leq l\leq n$. Please help me check that where is it wrong . Tomorrow I must present this my homework, thanks....
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ |
#4
|
|||
|
|||
จริงๆแล้ว $b_i$ ถ้าเขียนให้ถูกจริงๆต้องเป็น
$f:I\to \prod C_i$ โดยที่ $f(i)=b_i$ และ $f(j)=0$ ทุก $j\neq i$ เพราะว่าเรากำลังอยู่ในโลกของ weak direct product ครับ ซึ่งปกติแล้วเราจะมอง $C_i$ ให้เป็น component หนึ่งใน $\prod C_i$ แต่เพื่อความสะดวกเรามักจะเขียนโดยละรายละเอียดส่วนนี้ไว้แล้วมอง weak direct product ให้เป็น เซตของ linear combination(formal sum) ของสมาชิกใน $C_i$ แทนการเขียนแบบฟังก์ชัน ซึ่งจะทำให้เราใช้การบวกได้เหมือนกับการบวกที่เราใช้กันอยู่ทั่วไปใน usual sense
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#5
|
|||
|
|||
พูดถึงเรื่อง $0$ อันนี้เป็นข้อตกลงครับว่าเราจะใช้สัญลักษณ์นี้แทนสมาชิกเอกลักษณ์ของ abelian group คราวนี้มันก็ขึ้นอยู่กับว่าเรากำลังมองเนื้อหาในโลกของ abelian group แบบไหนครับ
ถ้ามองใน $\mathbb{Z}$, $0$ ก็คือเลขศูนย์ที่เรารู้จักในจำนวนเต็ม ถ้ามองใน cyclic group $C_i$, $0$ ก็เป็นเอกลักษณ์ของ $C_i$ แต่ถ้ามองใน $\sum_{i\in I}C_i$, $0$ จะหมายถึงฟังก์ชันศูนย์ซึ่งส่งสมาชิก $i$ ไปที่ $0_i$(เอกลักษณ์ของ $C_i$)
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับพี่ nooonuii คราวนี้ก็รอดตายเพราะพี่ nooonuii อีกแย้วววว
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ |
#7
|
||||
|
||||
This is true in my sense, but I want the reason to explain.
Let $a$ be a generator of infinite cyclic group $C$ (over additive notation). If $na=e$where $e$ is the identity of $C$.Prove that $n$ must be only $e$.
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ |
#8
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ถ้า $a$ เป็น generator ของ infinte cyclic group แสดงว่า $a$ มี infinite order ถ้า $n\neq 0$ จะได้ว่า $a$ และ $a^{-1}$ มี finite order ซึ่งขัดแย้งครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 20 กันยายน 2007 21:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#9
|
||||
|
||||
$n=0$ จริงๆครับ ขอบคุณมากครับพี่ nooonuii
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
E8 group? | passer-by | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 9 | 18 กุมภาพันธ์ 2008 05:00 |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 19: 9-free numbers | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 33 | 01 พฤศจิกายน 2006 03:54 |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 15: Group Theory | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 17 | 23 กุมภาพันธ์ 2006 00:14 |
euclidean group คืออะไร? | B&B | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 2 | 03 กรกฎาคม 2005 09:11 |
โจทย์เกี่ยวกับ group | warut | พีชคณิต | 10 | 21 ธันวาคม 2001 18:07 |
|
|