ช่วยแสดงอสมการนี้หน่อยครับ

[mercedesbenz]

For any $0\leq k\leq n-1$. Prove that
$$\frac{1+2+3+\cdots+(k+1)}{n+1}-\frac{1}{2^{n}}\left[(k+1){n\choose 0}+k{n\choose 1}+(k-1){n\choose 2}+\cdots+{n\choose k}\right]\geq 0$$

[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mercedesbenz

For any $0\leq k\leq n-1$. Prove that
$$\frac{1+2+3+\cdots+(k+1)}{n+1}-\frac{1}{2^{n}}\left[(k+1){n\choose 0}+k{n\choose 1}+(k-1){n\choose 2}+\cdots+{n\choose k}\right]\geq 0$$

พิจารณาพจน์หลังของสมการก่อน$\left[(k+1){n\choose 0}+k{n\choose 1}+(k-1){n\choose 2}+\cdots+{n\choose k}\right]
=k{n\choose 0}+{n\choose 0}+k{n\choose 1}+k{n\choose 2}-{n\choose 2}.....+k{n\choose k}-(k-1){n\choose k}$
$=k\sum_{i = 0}^{k}{n\choose i}-k\sum_{i=2}^{k}(i-1){n\choose i}+{n\choose 0}$
$\leq k\sum_{i = 0}^{n}{n\choose i}-k\sum_{i=2}^{n}(i-1){n\choose i}+{n\choose 0}$
ซึ่งเป็นที่ทราบกันดีว่า $\sum_{i = 0}^{n}{n\choose i}=2^n$ และจากสูตรที่ว่า
$${n\choose 1}+2{n\choose 2}+3{n\choose 3}+...+n{n\choose n}=n\bullet 2^{n-1}$$
$\therefore \sum_{i=2}^{n}(i-1){n\choose i}$
$=[{n\choose 1}+2{n\choose 2}+3{n\choose 3}+...+n{n\choose n}]-[{n\choose 1}+{n\choose 2}+...+{n\choose n}$
$=n\bullet 2^{n-1}-(2^n-1)$
$\therefore k\sum_{i = 0}^{n}{n\choose i}-k\sum_{i=2}^{n}(i-1){n\choose i}+{n\choose 0}$
$=k\bullet 2^n-k(n\bullet 2^{n-1}-2^n+1)+1$พอแค่นี้ก่อนเดี๋ยวกลับมาคิดใหม่

[mercedesbenz]

ขอบคุณมากครับคุณ tatari/nightmare ผมคิดต่อจากที่คิดไว้ก็ยังไม่ออกเลยทำไงดีช่วยหน่อยนะ
มีคนแนะให้ทำ double induction บน k และ n แต่ผมไม่เคยใช้มาก่อนมีใครรู้บ้างครับ
ว่าเราต้องทำอย่างไร ถ้าจะใช้ double induction บน k และ n
ซึงเขาแนะให้ดังนี้ครับ
Let $k,n\in\mathbb{N}$
For any $0\leq k\leq n-1$. Prove that
$\frac{1+2+3+\cdots+(k+1)}{n+1}-\frac{1}{2^{n}}\left[(k+1){n\choose 0}+k{n\choose 1}+(k-1){n\choose 2}+\cdots+{n\choose k}\right]\geq 0$
the following is just a sketch of a proof.
for integers $1 \leq k \leq n$ let $f(n,k)=k\binom{n}{0} + (k-1)\binom{n}{1}+...+\binom{n}{k-1}.$
the problem is to show that $f(n,k) \leq \frac{k(k+1)2^{n-1}}{n+1}.$
let $A=\{(n,k): \ 1 \leq k \leq n, \ f(n,k) \leq \frac{k(k+1)2^{n-1}}{n+1}\}.$ clearly for every
$n$ we have $(n,1) \in A,$ and $(n,n) \in A.$ in fact $f(n,n)=n2^{n-1}.$ since
$\binom{n+1}{j}=\binom{n}{j}+\binom{n}{j-1},$ we get $f(n+1,k)=f(n,k)+f(n,k-1).$
thus if $(n,k) \in A,$ and $(n,k-1) \in A,$, then $(n+1,k) \in A.$ now put
everything together and use double induction on $n$ and $k$ to finish the proof.

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

$=k\sum_{i = 0}^{k}{n\choose i}-k\sum_{i=2}^{k}(i-1){n\choose i}+{n\choose 0}$
$\leq k\sum_{i = 0}^{n}{n\choose i}-k\sum_{i=2}^{n}(i-1){n\choose i}+{n\choose 0}$

บรรทัดนี้ไม่จริงรึเปล่าครับ

[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

บรรทัดนี้ไม่จริงรึเปล่าครับ

Why!?????????????? (แต่ผมคิดว่ามัน(น่า)จะจริงนะครับ )

[nooonuii]

ลองแทนค่า $n=3,k=2$ ดูสิครับ