|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#16
|
||||
|
||||
ข้อ 5 (1)ของวันแรกครับ
5. Prove that if $A+B+C=2\pi$ (1) $cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C−2cos Acos Bcos C=1 ;$ solution พิจารณา $cos(A+B)=cos({2\pi-C})=cos C$ ต่อไปพิจารณา $\begin{eqnarray} 2cos Acos Bcos C&=&\left[cos(A+B)+cos(A-B)\right]cos(A+B)\\ &=&cos(A+B)cos(A+B) +(cos Acos B-sin Asin B)(cos Acos B+sin Asin B)\\ &=&cos^{2}C+cos^{2} Acos^{2} B-sin^{2} Asin^{2} B+sin^{2} B+cos^{2}B-1\\ &=&cos^{2}C+cos^{2} Acos^{2} B+sin^{2}B(1-sin^{2}A)+cos^{2}B-1\\ &=&cos^{2}C+cos^{2} Acos^{2} B+sin^{2}Bcos^{2}A+cos^{2}B-1\\ &=&cos^{2}C+cos^{2} A(sin^{2}B+cos^{2}B)+cos^{2}B-1\\ &=&cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C-1\\ \end{eqnarray}$ 19 พฤษภาคม 2007 16:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ mercedesbenz |
#17
|
||||
|
||||
5. Prove that if $A + B + C= 2\pi$
(2) $sin A+sin B+sin C = 4sin{\frac {A}{2}}sin{\frac {B}{2}}sin{\frac {C}{2}}$; Solution เนื่องจาก $-sin(A+B)=sin C$ พิจารณา $\begin{eqnarray} 4sin {\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}&=&4sin {\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{(A+B)}{2}}\\ &=&-2[cos\frac{(A+B)}{2}-cos\frac{(A-B)}{2}]sin\frac{(A+B)}{2}\\ &=&-2cos\frac{(A+B)}{2}sin\frac{(A+B)}{2}+2cos\frac{(A-B)}{2}sin\frac{(A+B)}{2}\\ &=&-sin(A+B)+sin A+sin B\\ &=&sin A+sin B+sin C \end{eqnarray}$ ถ้าผิดพลาดประการใดช่วยแนะนำด้วยนะครับ |
#18
|
||||
|
||||
คุณ mercedesbenz ลองเฉลยข้อ 5(3) ต่อเลยซิครับ
เท่าที่อ่านดู 2 ข้อแรกก็ OK แล้ว ... ขอบคุณแทนเพื่อนทุกคนด้วย
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#19
|
||||
|
||||
สำหรับข้อสอบชุดที่ 3 เป็นของเช้าวันศุกร์ มีแต่แนวโจทย์ประยุกต์ซึ่งหลายคนอาจไม่ได้เรียนวิชานั้นๆ มา
ฉะนั้นผมขอข้ามไปเลยละกัน เพราะคนสนใจอ่านคงมีน้อย FRIDAY, 30 May 1913, 9:00-12:00 ... เป็นโจทย์ประยุกต์กับกลศาสตร์ล้วนๆ ขอตัดทิ้งไปเลย ... _
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#20
|
||||
|
||||
เรามาต่อกันด้วยข้อสอบชุดที่ 4 เป็นของบ่ายวันศุกร์ กลับมาเป็นโจทย์คณิตศาสตร์ที่น่าจะพอคิดกันได้หน่อย
FRIDAY, 30 May 1913, 14:00-17:00 1. A chord $QQ'$ is drawn in a circle whose centre is $C;$ the tangents at $Q, Q'$ meet in $T,$ and $QQ'$ is bisected in $V$. Prove that $CVT$ is a straight line, and if it cuts the circle in $P,$ shew that $CV \cdot CT=CP^2$. $\;\;\;$ Deduce that the line joining the mid-points of $TQ, TQ'$ does not meet the circle. $\;\;\;$ Apply the method of orthogonal projection to obtain corresponding theorems for an ellipse. 2. A given pencil of four rays is cut by a transversal. Prove that the cross-ratio of the intercepts on the transversal is constant. $\;\;\;$ The angular points of a triangle move on fixed straight lines which meet in a point ; prove that, if two of the sides pass through fixed points, the third side also passes through a fixed point, which is collinear with the first two fixed points. 3. If $ y = ax + bx^2 + cx^3 + ... $ shew that if $x$ is expanded in a series of ascending powers of $y$ the first three terms of the expansion are $$ x = \frac{y}{a} - \frac{by^2}{a^3} - \frac{(2b^2-ac)y^3}{a^5} + ... $$ 4. A chain of three rods $AB, EC, CD,$ of lengths $5, 10, 5,$ feet, respectively, has its ends $A$ and $D$ attached to fixed points at the same level $18$ feet apart. The chain initially hangs with $BC$ horizontal and $3$ feet below $AD$. The rod $AB$ is then rotated about $A$ in a vertical plane until $B$ is $2.5$ feet above $AD$. Calculate the angular displacement produced in $CD$. 5. Find the radius of the inscribed circle of a triangle in terms of the sides. Find also the segments into which the sides are divided by the points of contact with the circle. $\;\;\;$ The inscribed circle of the triangle $ABC$ touches $BC$ at $P, AQ$ is the perpendicular from $A$ on $BC, AR$ the bisector of the angle $A,$ and $D$ is the middle point of $BC$. Prove that $DQ \cdot DR = DP^2$. 6. Find the angle between the two straight lines whose equations are $$ax + by + c = 0,\;\;\; a'x + b'y + c' = 0.$$ $\;\;\;$ The equation of the bisector of the angle between two straight lines is $7x - 4y + 1 = 0$. The equation of one of the lines is $3x + 4y= 11$ ; find the equation of the other. 7. Find an expression for the length of the tangent to a sphere from a point, having given the coordinates of the point and the equation of the sphere. $\;\;\;$ Prove that, if a sphere cuts orthogonally two spheres whose equations are $S = 0$ and $S' = 0$, it will cut orthogonally the sphere whose equation is $S + \lambda S' = 0$. 8. Shew how to find the asymptotes of ah algebraic curve when the terms of highest degree can be resolved into unrepeated linear factors. $\;\;\;$ Find the asymptotes of the curve whose equation is $$ x(x^2-y^2) + x^2 + y^2 + x + y = 0.$$ 9. Shew how to find the maximum and minimum values of a function of one variable. $\;\;\; P$ is a point on the circle whose equation is $$ (x-h)^2 + (y-h)^2 = a^2,\;\; (h>a),$$ and $PM,\; PN$ are the perpendiculars on the axes. Find the positions of $P$ when the triangle $PMN$ is a maximum or a minimum, and shew that there are two maximum positions or one, according as $h$ is less or greater than $a\sqrt{2}$. 10. Apply the transformation $t = \tan \frac12x$ to the integrals $$ \int \frac{4dx}{5+3\cos x},\;\;\; \int \frac{4dx}{3+5\cos x}$$ Hence or otherwise evaluate these integrals, to the nearest hundredth, when the limits are $x = 0$ and $\frac12\pi$. Prove in anyway that the second is the greater of the two integrals, when taken between $0$ and $\frac12\pi$. โจทย์ครบทั้ง 10 ข้อแล้วครับ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 18 มิถุนายน 2007 21:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#21
|
||||
|
||||
ข้อสอบชุดที่ 4 ที่เพิ่งโพสต์ไปนั้น โดยส่วนตัวแล้ว ผมกลัวข้อ 3 มากที่สุด ... ดูแล้วน่าจะหินกว่าข้ออื่น ?
แล้วเพื่อนๆ เห็นว่าข้อไหนน่ากลัวละครับ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 26 พฤษภาคม 2007 00:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#22
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
สมมติให้ $x = A_1y + A_2y^2 + A_3y^3 + \ldots$ แทนค่า $y$ ลงไปก็จะได้ $x = (A_1 a)x + (A_1 b + A_2 a^2)x^2 + (A_1 c + 2A_2 ab + A_3 a^3)x^3 + \ldots$ เทียบสัมประสิทธิ์ทั้งสองข้างจะได้ $A_1 a = 1$ หรือ $A_1 = \dfrac{1}{a}$ $A_1 b + A_2 a^2 = 0$ หรือ $A_2 = -\dfrac{b}{a^3}$ $A_1 c + 2A_2 ab + A_3 a^3 = 0$ หรือ $A_3 = \dfrac{2b^2 - ac}{a^5}$ ส่วนนี่คือสูตรที่มีอยู่ในหนังสือปกิณกสูตรคณิตศาสตร์ ให้ $y = a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots$ เมื่อ $a_1 \not= 0$ เพื่อหาสัมประสิทธิ์ของอนุกรม $x = A_1 y + A_2 y^2 + A_3 y^3 + \ldots$ จะได้ $\begin{array}{rcl} A_1 & = & \dfrac{1}{a_1} \\ A_2 & = & -\dfrac{a_2}{a_1^3}\\ A_3 & = & \dfrac{2a_2^2 - a_1 a_3}{a_1^5}\\ A_4 & = & \dfrac{5a_1 a_2 a_3 - a_1^2 a_4 -5a_2^3}{a_1^7}\\ A_5 & = & \dfrac{6a_1^2 a_2 a_4 + 3a_1^2 a_3^2 +14a_2^4 - a_1^3 a_5 - 21a_1 a_2^2 a_3}{a_1^9}\\ A_6 & = & \dfrac{7a_1^3 a_2 a_5 + 7a_1^3 a_3 a_4 - 84a_1 a_2^3 a_3 - a_1^4 a_6 - 28a_1^2 a_2^2 a_4 - 28 a_1^2 a_2 a_3^2 - 42a_2^5}{a_1^{11}} \end{array}$
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#23
|
||||
|
||||
หนังสือปกิณกสูตรคณิตศาสตร์ ที่คุณ Top พูดถึงเป็นชื่อนี้เลย หรือว่าแปลชื่อจากภาษาอังกฤษครับ
และใครเป็นผู้แต่ง รวมทั้งหาซื้อได้ที่ไหน ... ผมยังไม่เคยเห็น เผื่อยังหาซื้อได้ จะได้ลองอ่านดูบ้าง
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#24
|
||||
|
||||
เป็นพ็อกเก็ตบุ๊กภาษาไทยชื่อตามนั้นเลยครับ รวบรวมโดย ผู้ช่วยศาสตราจารย์ สุพพัดดา ปวนะฤทธิ์
จัดพิมพ์โดย สมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทย มีจำนวน 94 หน้า ISBN: 974-583-401-7 ซื้อที่ศูนย์หนังสือจุฬา ในปีพ.ศ. 2537 ไม่แน่ใจว่าปัจจุบันยังมีวางจำหน่ายหรือไม่ แต่หาอ่านได้ที่หอกลาง หรือห้องสมุดตามมหาวิทยาลัยต่างๆ
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#25
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
5(3) เท่าที่จำได้ derive ได้จาก สูตรของ sin3A ครับเผื่อว่ามีคนอยากทำด้วยครับ ถ้ายังไงจะลองทำดูอีกทีนะครับ ว่าแต่ว่าข้อสอบยากมหายากจริงนะครับเนี่ย |
#26
|
||||
|
||||
แวะเอาโจทย์มาเติมในความเห็นที่ 20 แล้วครับ
ทิ้งช่วงไปนานเลยสำหรับกระทู้นี้ ... น่าเสียดายที่หาเฉลยไม่ได้ เลยไม่ค่อยจูงใจให้ติดตามอ่าน
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#27
|
||||
|
||||
หากใครคิดข้อไหนออก ก็ช่วยกันโพสต์ด้วยนะครับ ผิดถูกเดี๋ยวคนอ่านก็ทักท้วงเอง
ถือว่าเป็นวิทยาทาน ไม่งั้นกระทู้นี้คงไปต่ออีกไม่กี่ความเห็น ... เพราะมีแต่โจทย์ทั้งนั้น คนเปิดเข้ามาอ่านก็คงเซ็งไปตามๆ กัน
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Mathematical Tripos Examination for 1878 | Switchgear | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 47 | 13 มิถุนายน 2007 19:21 |
โจทย์ real analysis เบื้องต้นอีกแล้วครับ เกี่ยวกับ Mathematical Induction | rigor | Calculus and Analysis | 7 | 13 มกราคม 2006 13:43 |
The First POSN-Mathematical Olympiad | Rovers | ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย | 4 | 06 พฤษภาคม 2005 09:55 |
The First POSN-Mathematical Olympiad | Rovers | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 24 เมษายน 2005 02:12 |
British Mathematical Olympiad | Tony | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 14 | 15 เมษายน 2005 08:59 |
|
|