|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#46
|
||||
|
||||
เฉลยไปหลายข้อแล้ว ไม่รู้ว่าจะตรงกับวิธีที่แต่ละคนคิดไว้ก่อนหรือเปล่า ?
สำหรับข้อ 8 เฉลยยาวมากๆ ขอต๊ะไว้ก่อน ว่างๆ จะมาโพสต์ให้อ่านกัน
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#47
|
||||
|
||||
เฉลยข้อสอบชุดที่ 2: MONDAY, December 31, 1877.
มาแล้วครับ ... เฉลยข้อ $8$ พิมพ์ยากน่าดู
เฉลยข้อสอบชุดที่ 2: MONDAY, December 31, 1877. 13:30 to 16:00 8. Prove geometrically $\;\;\; (i) \;\;\; \sin A+\sin B = 2\sin\frac12(A+B)\cos\frac12(A-B),$ $\;\;\; (ii) \;\; \cos A-\cos B = 2\sin\frac12(B+A)\sin\frac12(B-A);$ and explain how such formulae are shewn to be true universally for all magnitudes of the angles $A$ and $B$. If $$\;\;\; \frac{\cos(\alpha+\beta+\theta)}{\sin(\alpha+\beta)\cos^2\gamma} = \frac{\cos(\gamma+\alpha+\theta)}{\sin(\gamma+\alpha)\cos^2\beta},$$ and $\beta$ and $\gamma$ are unequal, prove that each member will be equal to $$\frac{\cos(\beta+\gamma+\theta)}{\sin(\beta+\gamma)\cos^2\alpha},$$ and that $$ \cot\theta = \frac{\sin(\beta+\gamma)\sin(\gamma+\alpha)\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\beta+\gamma)\cos(\gamma+\alpha)\cos(\alpha+\beta) + \sin^2 (\alpha + \beta + \gamma)}.$$ Solution: $\;\;\;$ From the given equation $$ \cot\theta = \frac{\sin(\alpha+\beta)\sin(\gamma+\alpha)\cos^2\beta - \sin(\gamma+\alpha)\sin(\alpha+\beta)\cos^2\gamma}{\cos(\alpha+\beta)\sin(\gamma+\alpha)\cos^2\beta - \cos(\gamma+\alpha)\sin(\alpha+\beta)\cos^2\gamma}.$$ of which the numerator = $\sin(\beta+\gamma)\sin(\gamma+\alpha)\sin(\alpha+\beta)\sin(\gamma-\beta)$, and the denominator $\;\;\; = \frac12\{\cos(\alpha+\beta)\sin(\gamma+\alpha) - \cos(\gamma+\alpha)\sin(\alpha+\beta)$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \cos(\alpha+\beta)\sin(\gamma+\alpha)\cos2\beta - \cos(\gamma+\alpha)\sin(\alpha+\beta)\cos2\beta \}$ $\;\;\; = \frac14\{2\sin(\gamma-\beta) + \sin(2\alpha+\beta+\gamma)(\cos2\beta-2\cos2\gamma) + \sin(\gamma-\beta)(\cos2\beta+\cos2\gamma) \}$ $\;\;\; = \frac14\sin(\gamma-\beta)\{2 + \cos2\alpha + \cos2\beta + \cos2\gamma) - \cos(2\alpha+2\beta+2\gamma) \}$ $\;\;\; = \frac14\sin(\gamma-\beta)\{4\sin^2(\alpha+\beta+\gamma) + \cos2\alpha + \cos2\beta + \cos2\gamma) + \cos(2\alpha+2\beta+2\gamma) \}$ $\;\;\; = \sin(\gamma-\beta)\{\sin^2(\alpha+\beta+\gamma) + \cos(\alpha+\beta)\cos(\beta+\gamma)\cos(\gamma+\alpha) \}$ Throwing out the factor $\sin(\gamma-\beta)$, which is common to the numerator and denominator, this becomes the expression for $\cot\theta$ in the question, and since it involves $\alpha,\;\beta,\;\gamma$ symmetrically it follows that each side of the given equation also $$ = \frac{\cos(\beta+\gamma+\theta)}{\sin(\beta+\gamma)\cos^2\alpha}.$$
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 13 มิถุนายน 2007 19:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#48
|
||||
|
||||
เฮ้อ...กว่าจะพิมพ์ข้อ 8 เสร็จตาลายน่าดู
ข้อ 9 ก็ยุ่งยากชวนตาลายพอกันเลย ... พักก่อนละกัน
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Cambridge?s Mathematical Tripos | Switchgear | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 26 | 18 มิถุนายน 2007 21:59 |
โจทย์ real analysis เบื้องต้นอีกแล้วครับ เกี่ยวกับ Mathematical Induction | rigor | Calculus and Analysis | 7 | 13 มกราคม 2006 13:43 |
The First POSN-Mathematical Olympiad | Rovers | ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย | 4 | 06 พฤษภาคม 2005 09:55 |
The First POSN-Mathematical Olympiad | Rovers | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 24 เมษายน 2005 02:12 |
British Mathematical Olympiad | Tony | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 14 | 15 เมษายน 2005 08:59 |
|
|