#1
|
|||
|
|||
โจทย์ สอวน.
เป็นข้อสอบเก่า ปี2544 วิชาทฤษฎีจำนวนครับ ถามว่า
ถ้าสมการ f(x)=n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก มีคำตอบ x ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกเพียงคำตอบเดียวแล้ว จงพิสูจน์ว่า 36 หาร x ลงตัว |
#2
|
|||
|
|||
นี่โจทย์ม.ปลายเหรอครับ น่าจะเกินหลักสูตรนะเนี่ย
เราสามารถเขียน x ให้อยู่ในรูป 2a3bm ได้โดยที่ a, b, m เป็นจำนวนเต็มและ a, b ณ 0, gcd(m, 6) = 1 ถ้า a = 0 จะได้ f(x) = f(2x) ถ้า a = 1 จะได้ f(x) = f(x/2) ดังนั้นเราให้ a ณ 2 ถ้า b = 0 จะได้ f(x) = f(3x/2) ถ้า b = 1 จะได้ f(x) = f(2x/3) ดังนั้น b ณ 2 สรุปว่า 2232 = 36 ต้องหาร x ลงตัว แต่จริงๆแล้วนี่เป็นเพียง necessary condition เท่านั้น ส่วน sufficient condition คืออะไรไม่มีใครรู้ อาจจะไม่มีเงื่อนไขใดที่เพียงพอเลยก็ได้ นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เชื่อกันว่าไม่มี x อย่างที่โจทย์ต้องการอยู่จริง เค้าเชื่อว่าถ้า f(x) = n แล้ว เราจะสามารถหา y น x ที่ทำให้ f(y) = n ได้เสมอ (Carmichael's conjecture) นอกจากนี้ Klee ก็ได้พิสูจน์ไว้ตั้งแต่ปี 1947 แล้วว่า a ณ 42 และ b ณ 47 (ไม่ใช่แค่ a ณ 2 และ b ณ 2 อย่างที่แสดงข้างบน) ส่วน Schlafly & Wagon ก็ได้พิสูจน์ไว้ในปี 1994 ว่า x > 1010000000 ผมขอเพิ่มโจทย์ให้ข้อนึงนะครับ ให้หาจำนวนคู่ n ณ 2 ที่น้อยที่สุดที่สมการ f(x) = n ไม่มีคำตอบ 13 เมษายน 2002 21:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
|
|