#1
|
|||
|
|||
ช่วยหน่อยครับ
U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
X={(a,b,c) | a,b,c$\in U$ และ $\sqrt[3]{a-b}$+$\sqrt[3]{b-c}$+$\sqrt[3]{c-a}$ =0} จงหา |x| 16 มกราคม 2019 10:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ napong |
#2
|
||||
|
||||
ยังไม่เข้าใจโจทย์ตรงนี้อะครับ
|
#3
|
|||
|
|||
ผมพิมพ์โจทย์ผิดครับ แก้ไขแล้วครับ
|
#4
|
||||
|
||||
คำตอบคือ $280$
ก่อนอื่นมาดูเงื่อนไขก่อนเลยครับ ผมจะสร้างเงื่อนไขใหม่ที่ง่ายกว่าและยังสมมูลกับเงื่อนไขเดิม โดยใช้การพิสูจน์ข้อความด้านล่างนี้ ----------------------------------------------------------------------------------- พิสูจน์ $\left(\Rightarrow \right)$ ถ้า $\sqrt[3]{a-b}+\sqrt[3]{b-c}+\sqrt[3]{c-a} = 0$ $\sqrt[3]{a-b}+\sqrt[3]{b-c}+\sqrt[3]{c-a} = 0$ ก็ต่อเมื่่อ $ในกลุ่มของ \ a,b,c \ มีสองตัวที่่มีค่าเท่ากัน \ กล่าวคือ \ a=b \ หรือ \ b=c \ หรือ \ c=a$ โดยเอกลักษณ์ทางพีชคณิตที่ว่า $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ เมื่อแทน $x=\sqrt[3]{a-b}, y=\sqrt[3]{b-c}, z=\sqrt[3]{c-a}$ จะได้ว่า \begin{align*}-3\sqrt[3]{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\end{align*} ดังนั้น จะได้ว่า $a=b$ หรือ $b=c$ หรือ $c=a$ ตามต้องการ $\left(\Leftarrow \right)$ ถ้า $a=b$ หรือ $b=c$ หรือ $c=a$ ไม่ว่าจะเป็นกรณีไหนก็ตามก็จะได้ว่า $\sqrt[3]{a-b}+\sqrt[3]{b-c}+\sqrt[3]{c-a} = 0$ ตามต้องการ ----------------------------------------------------------------------------------- ดังนั้นเราจึงแปลงเงื่อนไขที่โจทย์ให้มาได้เป็นดังนี้$X=\left\{(a,b,c) \mid a,b,c \in U \ และ\ (a=b \ หรือ \ b=c \ หรือ \ c=a)\right\} $ ซึ่งที่เหลือก็ไม่ยากครับในการจะหา $\left|X\right| $ โดยคิดกรณีของ $a,b,c$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้วหักออกด้วยกรณีที่ $a\not= b \not= c$ ซึ่งเท่ากับ $10^3 - (10 \times 9 \times 8)=280$ |
|
|