|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
4th posn final round ช่วยด้วยครับ
ผมไปเจอข้อสอบของโอลิมปิกสอวน. ครังที่ 4 อ่ะครับ (เพื่อนเอามาให้ทำ) คิดเท่าไหร่ก็ไม่ออก มึนมากเลยครับ อยากให้ช่วยผมด้วยนะครับ
รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง มีเส้นรอบรูปยาว $2s$ หน่วย มีวงกลมแนบในรัศมี $r$ หน่วย และเส้นที่ลากจากจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในไปยังจุดยอดทั้ง 3 ยาว $s_a,s_b,s_c$ ตามลำดับ จงเเสดงว่า $\frac{3}{4}+\frac{r}{s_a} +\frac{r}{s_b} +\frac{r}{s_c} \leq \frac{s^2}{12r^2} $ ช่วยหน่อยนะครับ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... 09 พฤษภาคม 2007 19:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Art_ninja |
#2
|
|||
|
|||
เพราะ incenter แบ่งครึ่งมุมยอด ดังนั้น อสมการนี้เทียบเท่ากับ $$ \frac{3}{4}+ \sin(\frac{A}{2})+ \sin(\frac{B}{2})+\sin(\frac{C}{2}) \leq \frac{1}{12}(\cot(\frac{A}{2})+ \cot(\frac{B}{2})+\cot(\frac{C}{2}))^2 $$
ฺั By Jensen's inequality (using concavity of sine function in first quadrant) $ LHS \leq \frac{9}{4} $ และการพิสูจน์นี้จะสิ้นสุดเมื่อ สามารถแสดงได้ว่า $3\sqrt{3} \leq \cot(\frac{A}{2})+ \cot(\frac{B}{2}) + \cot(\frac{C}{2}) $ ซึ่ง อ้างได้จาก Jensen's inequality & convexity of cot function in first quadrant
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 10 พฤษภาคม 2007 15:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by เหตุผล: Complete the solution |
#3
|
|||
|
|||
กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ $a\, b\, c $ เป็นด้านตรงข้ามมุม $A\, B\, C$ ตามลำดับ ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน ลากเส้นจากจุด $O$ ไปยังจุดสัมผัสวงกลมทั้งสาม ได้แก ่$D\, E\, F$ ซึ่งอยู่บนด้าน $AB\, BC\, CA$ ตามลำดับ
จะได้ว่า$AD = AF \, BD=BE \, CE=CF$ กำหนดให้ $AD=x\, BE=y\, CF=z$ จะได้ว่า $a=x+y\, b=y+z\, c=z+x$ จากสูตรของสามเหลี่ยมได้ว่า $ r = area/s =$ $\frac{\sqrt {xyz}}{\sqrt{x+y+z}}$ พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก $AOD$ ได้ว่า $ s_a=\sqrt{ x^2 + r^2 } =$ $\sqrt{x^2 +\frac{xyz}{x+y+z}}$ $=$ $\frac{\sqrt{(x) (x+y) (x+z)}}{\sqrt{x+y+z}}$ จะได้ว่า $\frac{r}{s_a}$ $=$ $\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}}$ ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $\frac{r}{s_b}$ $=$ $\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(y+z)}}$ $\frac{r}{s_b}$ $=$ $\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$ และได้ว่า $\frac{s^2}{12r^2}$ $=$ $\frac{(x+y+z)^3}{12xyz}$ ดังนั้นอสมการสมมูลกับ $\frac{3}{4}$ $+$ $\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(y+z)}}$ $+$ $\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$ $+$ $\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$ $\leq$ $\frac{(x+y+z)^3}{12xyz}$ โดยอสมการโคชี่จะได้ว่า $\frac{3}{4}$ $+$ $\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(y+z)}}$ $+$ $\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$ $+$ $\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$ $\leq$ $\frac{3}{4}$ $+$ $\frac{x}{y+z}$ $+$ $\frac{y}{x+z}$ $+$ $\frac{z}{x+y}$ $\leq$ $\frac{3}{4}$ $+$ $\frac{1}{4}$ $\frac{y+z}{x}$ $+$ $\frac{x+z}{y}$ $+$ $\frac{x+y}{z}$ เพียงพอที่จะแสดงว่า $\frac{3}{4}$ $+$ $\frac{1}{4}$ $\frac{y+z}{x}$ $+$ $\frac{x+z}{y}$ $+$ $\frac{x+y}{z}$ $\leq$ $\frac{(x+y+z)^3}{12xyz}$ ซึ่งอสมการสมมูลกับ $x^3$ $+$ $y^3$ $+$ $z^3$ $\geq$ $3xyz$ ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ A.M.-G.M. ส่วนsolution ของคุณ passer-by ก็โอเคครับ 14 พฤษภาคม 2007 04:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: รวม Solution ให้อยู่ในคำตอบเดียวครับ |
#4
|
||||
|
||||
ยังมีอีกข้อนะครับ ขอบคุณมากครับที่ช่วยเหลือ(แม้ว่าจะยังไม่ค่อยเข้าใจเรื่อง convex function แต่กำลังศึกษาอยู่ )และที่เป็นโจทย์อีกข้อครับ
จงหา $f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ ทั้งหมดซึ่ง $\sum_{i = 1}^{2549}f(x_i + x_{i+1}) + f(\sum_{i = 1}^{2550}x_i ) \leq \sum_{i = 1}^{2550}f(2x_i) $ $\forall x_1,x_2,...,x_{2550}\in \mathbf{R} $ หมายเหตุ:ข้อนี้ผมคิดมาได้ $f(x)\leq f(0)$ ซึ่งจะได้ว่า $f(x)=f(0)$ หรือ $f(x)<f(0)$ ผมพิสูจน์ได้ว่า $f(x)=f(0)$ เป็นจริงทำให้ f เป็ยฟังก์ขันค่าคงตัว แต่ $f(x)<f(0)$ ผมพิสูจน์ไม่ออกอ่ะครับ
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... 10 พฤษภาคม 2007 19:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Art_ninja เหตุผล: เพิ่มเติมส่วนที่ผิดพลาด |
#5
|
||||
|
||||
ผมได้แนวคิดของข้อนี้มานิดหน่อยนะครับ
คือ กระจาย summation ออกมาก่อน แล้วลองแทน $$ x_1= - x_2 , x_2 = -x_3 ,... จะได้ x_1 = x_3 = x_{คี่} = ... = x_{2549} และ x_2 = x_4 = x_{คู่} =... =x_{2550}$$ แล้วจัดรูปฟังก์ชันให้เรียบร้อย จะได้ $$f(\frac{x}{2})+f(\frac{-x}{2})\leq2f(0)$$ หรือ $$f(x)+f(-x)\leq2f(0)$$ และเมื่อดำเนินการแก้สมการเชิงฟังก์ชันดังกล่าว ก็น่าจะได้คำตอบออกมา (คาดการณ์ว่าน่าจะเป็นฟังก์ชันค่าคงตัว) |
#6
|
|||
|
|||
ข้อนี้เป็นข้อสอบวันที่ 2 ของการสอบ มีค่าตั้ง7คะแนนแน่ะ
เราก้อทำไม่ได้ 10 พฤษภาคม 2007 21:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ HIPPO1234 |
#7
|
||||
|
||||
นี่เป็นแนวคิดที่ผมคิดเอาไว้คร่าวๆครับไม่ทราบว่าผิดที่ไหนรึเปล่าถ้าผิดก็แนะนำด้วยนะครับ
แทนค่า $x_1=x,x_2=x_3=...=x_{2550}=0$ จะได้ว่า $2f(x)+2548f(0)\leq 2549f(0)+f(2x)...........(1)$ และแทนค่า $x_2=x,x_1=x_3=x_4=x_5=...=x_{2550}=0$ จะได้ว่า $3f(x)+2547f(0)\leq 2549f(0)+f(2x)...........(2)$ นำ (2)-(1) จะได้ $f(x)\leq f(0)$ ดังนั้น $f(x)<f(0)$ หรือ $f(x)=f(0)$ซึ่งจะได้ว่ากรณีหลังเป็นจริง ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันค่าคงตัว แต่กรณีเเรกนี่สิ เฮ้อ...
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... |
#8
|
|||
|
|||
ไม่ไ่ด้มาตอบนะครับ แค่จะมาบอกว่า
ของคุณ brownian อสมการสุดท้าย น่าจะเป็น $ f(x)+f(-x) \geq 2f(0) $ ส่วนวิธีของคุณ Art_ninja ตรงที่บอกว่า (2)-(1) ไม่สามารถทำได้กับอสมการครับ ว่าแต่ ไม่มีน้องๆคนไหน อยากจะนำโจทย์เต็มๆทั้งหมด มาแปะบ้างเลยหรือครับ เชื่อว่ามีหลายคนอยากเ้ห็น
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#9
|
|||
|
|||
ข้อสอง trick อยู่ตรงที่เราสามารถสมติว่า $f(0)=0$ ได้ครับ โดยการพิจารณาฟังก์ชัน $\tilde{f}(x):=f(x)-f(0)$ แทน ซึ่งฟังก์ชัน $\tilde{f}$ ก็สอดคล้องเงื่นไขเดียวกับ $f$ คือ
\[ \sum_{i=1}^{2549}\tilde{f}(x_i+x_{i+1})+\tilde{f}\Big(\sum_{i=1}^{2550}x_i\Big) \leq\sum_{i=1}^{2550}\tilde{f}(2x_i) \] เมื่อได้คำตอบกรณี $f(0)=0$ สมมติเรียกว่า $f_0$ แล้วคำตอบทั่วไปจะอยู่ในรูป $f(t)=f_0(t)+c$ โดย $c$ เป็นค่าคงตัวใดๆ โดยการแทน $x_{odd}=t/2$, $x_{even}=-t/2$ อย่างที่น้อง Brownian ลองทำตามด้วยคุณ passer-by กล่าวไว้คือ \[ f(t)+f(-t)\geq2f(0)=0 \] ที่เหลือคือแสดงว่า $f(t)\leq0$ ทุก $t$ (ซึ่งน้อง Art_ninja ก็ได้แสดงไว้แล้ว) ซึ่งจะบีบให้ $f(t)=0$ สำหรับทุก $t$ ดังนั้น $f_0\equiv0$ เพราะฉะนั้นคำตอบกรณีทั่วไปคือ $f\equiv c$ 12 พฤษภาคม 2007 10:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk |
#10
|
||||
|
||||
เป็นวิธีที่คิดไม่ถึงจริงๆ ยอดเยี่ยมมากครับ
แต่จากความคิดของคุณ brownian ก็ทำได้เหมือนกันนะครับ จาก $f(x)+f(-x) \geq 2f(0)$ แต่ไม่ว่าจะ $f(x) \leq f(-x)$ หรือ $f(-x) \leq f(x)$ (พูดอีกแบบหนึ่งก็คือ เราสามารถสมมติได้ว่า $f(x) \geq f(-x)$) เราก็สามารถสรุปได้ว่า $f(x) \geq f(0)$ และเมื่อให้ $x_1=x_2=x,x_3=x_4=...=x_{2550}=0$ ในอสมการที่โจทย์ให้มาจะได้ว่า $f(x) \leq f(0)$ ดังนั้นฟังก์ชันที่เป็นไปตามอสมการคือ $f(x)=c$ เท่านั้น 11 พฤษภาคม 2007 23:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gools |
#11
|
||||
|
||||
เเหะๆลืมไปครับ ต้องขอบคุณพี่ punk มากเลยนะครับที่ช่วยบอกจุดบกพร่องให้ ขอบคุณมากครับ
หมายเหตุ:คุณ passer-by ทำวิธีเดียวกับผมแต่ผมดันไม่รู้ว่ามันใช้ jensen's inequality ได้(ยังไม่รู้เรื่อง convex/concave)
__________________
Defeat myself successfully is the most successful in my life... 12 พฤษภาคม 2007 08:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Art_ninja |
#12
|
||||
|
||||
เดี๋ยวผมเอามาโพสท์ให้เย็นนี้นะครับแต่ว่า...
ผมดันทำข้อสอบวิธีทำหายครับเหลือแต่เติมคำ
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
#13
|
|||
|
|||
สำหรับ comment ของคุณ Art_ninja คือผม assume เอาเองน่ะครับ ว่า ค่าย สอวน. น่าจะสอน Jensen inequality ไปด้วยแล้ว
สำหรับ เรื่อง convex /concave ผมขอตอบแบบ informal แล้วกัันนะครับ เพื่อให้เห็นภาพ ปกติ ผมจะใช้พาราโบลา คว่ำ-หงายเป็นจินตนาการเริ่มต้นครับ เพราะ พาราโบลาหงาย เป็น convex function ส่วนคว่ำ เป็น concave function สำหรับกราฟอื่นๆ ก็ลองเทียบเคียงกับ 2 รูปนี้ดูน่ะครับ ว่าใกล้เคียงโค้งแบบใด อย่างเช่น sine function ในจตุภาคที่ 1 จะคล้ายๆโค้งพาราโบลาคว่ำ ก็จะเป็น concave ครับ ส่วน cot function ในจตุภาคที่ 1 จะคล้ายกับโค้งพาราโบลาหงาย ก็จะเป็น convex function ถ้าจะพูดให้ทางการกว่าเดิมนิดนึงก็คือ บนช่วงค่า x ที่เราพิจารณา ถ้าเราลากเส้นตรงเชื่อม 2 จุดบนกราฟ แล้วพบว่าเส้นทั้งเส้นอยูู่๋เหนือกราฟ ก็จะเป็น convex function ในทางกลับกัน ถ้าเส้นทั้งเส้น อยู่ใต้กราฟ ก็จะเป็น concave ครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#14
|
|||
|
|||
เดี๋ยวสอบปลายภาคเสร็จวันพุธนี้จะเอาตัวอย่าง convex & concave function มาลงในห้องอสมการให้ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#15
|
||||
|
||||
ขอโทษด้วยนะครับที่ช้าผมสแกนละมันมองไม่เห็นเลยนั่งพิมพ์ใหม่
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ประกาศผลสอบ สอวน Final ศูนย์สวนกุหลาบ | Coco | ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย | 8 | 06 มกราคม 2008 23:31 |
ข้อสอบ 4th TMO ณ ร.ร.เตรียมทหาร | Mathophile | ข้อสอบโอลิมปิก | 20 | 14 มิถุนายน 2007 19:18 |
The First POSN-Mathematical Olympiad | Rovers | ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย | 4 | 06 พฤษภาคม 2005 09:55 |
The First POSN-Mathematical Olympiad | Rovers | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 24 เมษายน 2005 02:12 |
|
|