|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#16
|
|||
|
|||
พิสูจน์กรณีทั่วไปไปเลย ไอเดียคือขยายสมการและแทรก $m_{i}$ เข้าไปโดยใช้ LEMMA 2
(ไม่ต้องรู้ว่าคำตอบหน้าตาเป็นยังไง เอา LEMMA ทุบเข้าไปอย่างเดียวพอ) กำหนดสมการ $x \equiv a_{i} \pmod{m_{i}}$ สำหรับ $1 \leq i \leq r$ ระบบสมการที่ว่าจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ $(m_{i},m_{j}) \mid a_{j}-a_{i}$ ทุก $1 \leq i < j \leq r$ และจะมีคำตอบ unique ใน $\pmod {\left[\,m_{1},...,m_{r}\right]}$ LEMMA1: สมการ $ax \equiv b \pmod{n}$ มีคำตอบก็ต่อเมื่อ $(a,n) \mid b$ LEMMA2: ระบบสมการ $x \equiv a_{i} \pmod{m_{i}}$ สำหรับ $i=1,2$ มีคำตอบก็ต่อเมื่อ $(m_{1},m_{2}) \mid a_{2}-a_{1}$ และ unique ใน $\pmod{\left[\,m_{1},m_{2}\right]}$ อุปนัยบน $r$ ถ้า $r=2$ ก็จริงจาก LEMMA ดังนั้น $P(2)$ จริง สมมติว่า $P(k)$ จริง นั่นคือระบบสมการ $x\equiv a_{i} \pmod{m_{i}}$ $1 \leq i \leq k$ มีคำตอบ $A$ ใน $\pmod {\left[\,m_{1},...,m_{k}\right]}$ และ $(m_{i},m_{j}) \ a_{j}-a_{i}$ ทุก $1 \leq i < j \leq k$ ให้ $M={\left[\,m_{1},...,m_{k}\right]}$ พิจารณาระบบสมการ $x \equiv a_{i} \pmod {\left[\,m_{1},...,m_{k}\right]}$ $x \equiv a_{k+1} \pmod{m_{k+1}}$ สมมติให้ระบบสมการนี้มี $B$ เป็นคำตอบใน $\pmod {\left[\,M,m_{k+1}\right]}$ จาก LEMMA2 $(M,m_{k+1}) \mid B-a_{k+1}$ และเพราะว่า $m_{i} \mid M$ ทุก $i$ ต้องได้ $(m_{i},m_{k+1}) \mid B-a_{k+1}$ เพราะฉะนั้นมี $n$ เป็นจำนวนเต็มที่ $n(m_{i},m_{k+1})=B-a_{k+1}$ เพราะว่า $B$ เป็นคำตอบ จะได้ $B-a_{k+1} \equiv a_{i}-a_{k+1} \pmod{m_{i}}$ ถ้า $m_{i} \leq m_{k+1}$ จะได้ $n(m_{i},m_{k+1}) \equiv n(0,m_{k+1}) = nm_{k+1} \equiv a_{i}-a_{k+1} \pmod{m_{i}}$ ถ้า $m_{i} > m_{k+1}$ จะได้ $n(m_{i},m_{k+1}) \equiv n(0,m_{i}) =nm_{i} \equiv 0 \pmod{m_{k+1}}$ จาก LEMMA1 ได้ว่าสมการ $nm_{t_{1}} \equiv a_{i}-a_{k+1} \pmod{m_{t_{2}}}$ $t_{s} \in \left\{\,i,k+1\right\}$ มีคำตอบ $x=n$ ซึ่งจะได้ว่า $(m_{i},m_{k+1}) \mid a_{i}-a_{k+1}$ ทุก $1 \leq i \leq k+1$ สมมติให้ระบบสมการมี $(m_{i},m_{j}) \mid a_{j}-a_{i}$ ทุก $1 \leq i < j \leq k+1$ .....(*) จะพิสูจน์ว่าระบบสมการมีคำตอบและ unique ด้วย สำหรับ $m_{i},m_{j}$ ให้พิจารณาค่าของ $m_{1},m_{2}$ สำหรับสมการ $x \equiv a_{i} \pmod{m_{i}}$ โดย $i=1,2$ ......(**) จาก LEMMA ระบบสมการนี้มีคำตอบร่วมกันใน $\pmod {\left[\,m_{1},m_{2}\right]}$ พิจารณาสมการ $x \equiv a_{3} \pmod{m_{3}}$ จาก (*) และจาก LEMMA สมการข้างบนจะมีคำตอบร่วมกันกับระบบสมการ (**) ใน $\pmod {\left[\,m_{1},m_{2},m_{3}\right]}$ ในการพิสูจน์ขั้นอุปนัย จาก (*) และจากการที่ $A$ เป็นคำตอบของ $k$ สมการแรก ได้ว่า $(M,m_{k+1}) \mid A-a_{k+1}$ เพราะฉะนั้นถ้าให้ $x \equiv a_{k+1} \pmod{m_{k+1}}$ $x \equiv a_{i} \pmod{M}$ $1 \leq i \leq k$ จาก LEMMA ระบบสมการข้างบนมีคำตอบ unique ร่วมกันใน $\pmod {\left[\,M,m_{k+1}\right]}$ |
#17
|
||||
|
||||
จากขากลับตอนที่เราได้ว่า
mod [m1,m2] มีคำตอบสมมติว่าเป็น Z และพิจารณา mod m3 ตรงนี้เราไม่สามารถอ้างจากLEMMA ได้หนิครับว่า จะมีคำตอบใน mod[m1,m2,m3] เพราะเรายังไม่รู้ว่า ([m1,m2],m3)|Z-a3 หรือไม่ |
#18
|
|||
|
|||
ถ้าหากพิสูจน์ได้ว่า $(m_{1},m_{3}),(m_{2},m_{3})$ ต่างหาร $Z-a_{3}$ ลงมันจะจบเลยใช่ปะหละ
เพราะจาก ([m1,m2],m3)=[(m1,m3),(m2,m3)] และจาก a หาร c , b หาร c ได้ว่า ครนab หาร c ผมอยากจะแนะนำว่าลองลิงค์ไปกับสมการ $ax \equiv b \pmod{n}$ ตอนนี้ยังคิดไม่ออก ลองดูเฉลยแบบย่อม๊ากมากได้ที่ www.aw-bc.com/rosen/Rosen_NumTheory5_SSM.pdf หน้า 47 ตรง 4.3.19 (มันเป็นเฉลยหนังสือในบรรณานุกรมของอาจารย์ในค่าย) |
#19
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับสำหรับหนังสือเฉลย หาหนังสือเก่งจังเลยครับ
ผมติดตรงนี้เลยครับ ไม่รู้จะแสดงยังไง |
#20
|
||||
|
||||
ข้อแรกเรขาอ่านไม่ออกอ่ะครับ
ขอโจทย์หน่อยครับ
__________________
ขอปลอบใจตัวเองหน่อยนะครับ: เอาน่า..นี่แค่สนามเดียว,ถือว่าฟาดเคราะห์ละกัน สนามหน้าต้องดีแน่[เคราะห์โดนฟาดไปเกลี้ยงแล้วนี่นา] สู้ๆ |
#21
|
|||
|
|||
1.(10 คะแนน) สำหรับ $\Delta ABC$ ใดๆ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดที่อยู่ในวงกลมเก้าจุด โดยที่จุดยอดมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นสี่จุดที่มาจากจุดสำคัญทั้งเก้าของวงกลมเก้าจุด
|
#22
|
||||
|
||||
พีชคณิตข้อ 3 ทำอย่างไรครับ
|
#23
|
||||
|
||||
(3.) สังเกตว่า $z+\overline{z}=0$ ครับ
ก็จะได้ว่า $z$ ต้องอยู่ในรูป ... $z=bi$ ที่เหลือก็ไม่ยากแล้วครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
#24
|
||||
|
||||
มาให้แนวคิด Functional Equation #3,5 ครับ
จริงๆข้อ 3 เป็นข้อมาตรฐานที่เจอบ่อย จัดอยู่ในระดับกลางๆเกือบยาก อ้างอิง:
2.พิสูจน์ให้ได้ว่า $f(0)=0$ 3.พิสูจน์ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันคู่ 4.เล่นกับพจน์ $f(x^2+f(y))$ ดูครับ โดยใช้สมบัติฟังก์ชันคู่ แล้วมันก็จะเกิดสิ่งอัศจรรย์!!! อ้างอิง:
2.ถ้า $f(0)=0$ แทนค่านิดหน่อยจะได้ว่า $f \equiv 0$ กรณีนี้จบไป 3.ถ้า $f(1)=\frac{1}{3}$ สามารถแทนค่าแล้วเกิดสองกรณีคือ $f(0)=\frac{1}{3}$ หรือ $f(0)=-\frac{2}{3}$ 3.1. ถ้า $f(0)=\frac{1}{3}$ ใช้เทคนิคเปลี่ยนตัวแปร (ตัวแปรเดียวแต่คนละรูป) จะได้ $f \equiv \frac{1}{3}$ 07 มกราคม 2015 01:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Napper เหตุผล: เพิ่มข้อ |
#25
|
|||
|
|||
เก่งจังเลยครับ
ช่วยทำให้ความคิดเห็นที่ 16,17 เคลียร์หน่อยสิครับ ปล.ผมจะไม่คิดต่อแล้ว |
#26
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
แต่ทำจริงๆอาจจะต้องมองไปที่วงกลมล้อมรอบ $ECD$ แทน เพราะมันน่าจะวาดรูปง่ายกว่า ทีนี้ก็ให้ $(ECD) \cap (BCA)=O$ (เหมือนรูปเจ้าของกระทู้) จากนั้นก็ต่อ $OA,OC,OE$ แล้วใช้ angle chasing prove $EFAO$ เป็น concyclic ก็จะได้วงกลมล้อมรอบ $FAE$ ผ่าน $O$ จากนั้นก็ลาก $OB,OD$ แล้วก๊อปๆเหมือนของข้างบนมา มันก็จะ imply ได้ว่าวงกลมล้อมรอบ $DFB$ ก็ผ่าน $O$ เหมือนกัน ก็จะได้ว่ารูปสามเหลี่ยม 4 รูปมีวงกลมล้อมรอบตัดที่ $O$ ตามต้องการ ปล. ไอโจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์ที่สมมูลกับเส้นตรง 2 คู่ตัดกันเกิดเป็นรูปสามเหลี่ยม 4 รูป จะได้วงกลมล้อมรอบของทั้ง 4 รูปตัดกันที่จุดเดียว (ตามที่คนข้างบนบอก) แต่ถ้ามามองในแง่ของเส้นตรงที่ตัดกันเฉยๆ 4 เส้น (ได้ 1+2+3=6 จุด) จากนั้นมาลากเส้นที่ 5 ให้ตัด 4 เส้นเมื่อกี้เพิ่มอีก 4 จุด รวมเป็น 10 ตรงนี้ไม่รู้ว่าสามเหลี่ยมที่เกิดยังมีสมบัติตัดกันจุดเดียวอยู่หรือเปล่า ใครว่างๆก็ลองคิดดูนะครับ |
#27
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#28
|
|||
|
|||
ลองดูนี่ http://www.artofproblemsolving.com/F...c.php?t=334067
ให้ระวังเรื่อง logic (ตรรกศาสตร์) ตอนสรุปคำตอบให้ดีๆ ผมว่าอาจารย์ค่ายเขาเอามาวัดตรงนี้แหละ ว่าเรา claim คำตอบ FE ดีแค่ไหน ผมจะไม่ลงมือคิดข้อนี้นะ แต่แนะนำว่าให้ศึกษา solution ลิงค์ของผมดูเทียบกับ routine ของคนข้างบน สังเกตประพจน์นี้ดีๆ $a^2f(b)=b^2f(a)$ ทุกจำนวนจริง $a,b$ เราต้องการ claim คำตอบของ $S=\left\{\,f(x) | a^2f(b)=b^2f(a)\right\}$ ทุกจำนวนจริง $a,b$ ถูกป๊ะ ถ้าให้ $S_{1}=\left\{\,f(x) | \frac{f(a)}{a^2}=\frac{f(b)}{b^2}\right\}$ ทุก $a,b \in \mathbb{R}-\left\{\,0\right\}$ คำถามคือ $S_{1}$ cover คำตอบทั้งหมดของ $S$ ไหม ? ถ้าใช่ต้องเขียนส่งอาจารย์ยังไงให้ถูก logic ไม่โดนหักคะแนน ? ถ้าไม่ ต้องเขียนอะไรเพิ่มเข้าไป ? ผมแค่มาชี้ให้เห็นอะไรบางอย่างนะ สำหรับคนเพิ่งเริ่มลุย FE คนที่เก่งๆก็ช่วยๆกันชี้แนะหน่อย ส่วนตัวไม่ค่อยมีเวลาเท่าไรครับ |
#29
|
|||
|
|||
ขออนุญาตขุดครับ
ข้อ 4 FE ทำไมผมได้ไม่เหมือนคุณ @นกกะเต็นปักหลัก เลยครับ $f(0)$ ได้สองกรณีคือ 1,-1 ไม่ใช่หรอครับหรือผมคิดเลขผิด ที่ผมได้คือ $f(0)=1$ ขัดแย้ง ดังนั้น $f(0)=-1$ $P(x,-x)$ ได้ $f(x)f(-x)=f(-x^2)-2x^2+2$ แทน $x=1$ ได้ $f(-1)=0$ หรือ $f(1)=1$ $f(1)=1$ ได้คำตอบ $f(x)=2x-1$ ผมติดกรณ๊ $f(-1)=0$ ใครก็ได้ช่วยทีครับ |
#30
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
[สอวน. สวนกุหลาบ 2557] ข้อสอบ สอวน.ค่าย1/2557 ศูนย์สวนกุหลาบวิทยาลัย | น้องเจมส์ | ข้อสอบโอลิมปิก | 7 | 05 พฤศจิกายน 2016 15:36 |
สอวน. ม.เกษตรศาสตร์ ค่าย1/2557 สอบครั้งที่1 | ~!!Arale!!~ | ข้อสอบโอลิมปิก | 6 | 16 เมษายน 2015 16:49 |
งานหนังสือแห่งชาติ 2557 (15-26 ต.ค. 57) | meepanda | งานหรือข่าวคราวคณิตศาสตร์ทั่วไป | 4 | 16 ตุลาคม 2014 08:52 |
สพฐ. 2557 กำหนดการรับสมัคร(1-25 ธ.ค.2556)และสอบแข่ง รอบที่ 1 (26 ม.ค.2557) | gon | ข่าวคราวแวดวง ม.ต้น | 22 | 16 ธันวาคม 2013 09:56 |
สพฐ. 2557 กำหนดการรับสมัคร(1-25 ธ.ค.2556)และสอบแข่ง รอบที่ 1 (26 ม.ค.2557) | gon | ข่าวคราวแวดวงประถม ปลาย | 1 | 10 พฤศจิกายน 2013 04:56 |
|
|