|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ช่วยหน่อยครับคิดไม่ออก เรื่องหารลงตัว ไม่ถนัดเลย
จงหาว่าจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมดกี่จำนวนที่มีค่าไม่เกิน 2013 ที่ทำให้
n^4+5n^2+9 หารด้วย 5 ลงตัว |
#2
|
||||
|
||||
$n^4 \equiv 1 \pmod{5} $
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ |
#3
|
|||
|
|||
แยกเคส $n=5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4$
คุณ กขฃคฅง ครับ ถ้า $5\mid n$ แล้ว $n^4\equiv 0\pmod 5$ นะครับ |
#4
|
|||
|
|||
$n^4+5n^2+9$ หารด้วย $5$ ลงตัว แสดงว่ามีจำนวนเต็ม $m$ ที่ทำให้ สมการ $n^4+5n^2+9 = 5m$ เป็นจริง
$n^4+5n^2+9 = 5m$ $n^4+5n^2 = 5m-9$ $n^2(n^2+5) = 5(m-2)+1$ นั้นคือหาว่ามี $n$ ไหนบ้างที่ทำให้ $n^2(n^2+5)$ หารด้วย $5$ แล้วได้เศษ $1$ กำหนด $ mod $ คือตัวดำเนินการหารเอาเศษนะครับ $(n^2(n^2+5)) mod 5 $ $= ((n^2 mod 5)((n^2 mod 5) + (5 mod 5))) mod 5 $ $= ((n^2 mod 5)(n^2 mod 5)) mod 5 $ $= ((n^2 mod 5)^2) mod 5 $ $= ((((n)mod 5)^2)^2) mod 5 $ $= (((n)mod 5)^4) mod 5 $ จะแปลงปัญหานี้ไปเป็นว่า หาว่ามี $n$ กี่ตัว (ในช่วงที่ต้องการ) ที่ทำให้ $(((n)mod 5)^4) mod 5 $ ได้เศษ 1 ซึ่งอาจมองได้ว่า ถ้าแปลง n เป็นเลขฐาน 5 มีอะไรบ้างที่ยกกำลัง 4 แล้วลงท้ายด้วยเลข 1 แล้วเนื่องจากเลขที่ลงท้ายด้วย 1 ยกกำลังอะไรก็ยังลงท้ายด้วย 1 และเลขฐาน 10 ถ้าจะแปลงเป็นฐาน 5 โดยต้องการทราบแค่เฉพาะเลขท้าย ก็แค่ mod 5 $0^4=0$ $1^4=1$ $2^4=16=15+1$ $3^4=81=80+1$ $4^4=256=255+1$ นั้นคือ ถ้า n เป็นเลขฐานสิบที่มีเลขท้ายทุกตัวเลขยกเว้นเป็นเลข 0 หรือ 5 จะทำให้ $(((n)mod 5)^4) mod 5 $ ได้เศษ 1 |
#5
|
||||
|
||||
ผมหมายถึงว่าถ้า $n$ สอดคล้องกับโจทย์แล้ว $n^4 \equiv 1 \pmod{5} $ น่ะครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ |
#6
|
||||
|
||||
ว่าแต่1006ตัวถูกมั่ยครับ
วิธีเห็นn^4+5n^2+9พิจารณาว่าการที่5หารลงตัวและ เพราะฉะนั้นหลักหน่วยต้องเป็น5n^4+5n^2จึงต้องมีหลักหน่วยเป็น6 ลองแทนค่าหลักหน่วยอย่างเดว n=1----1^4+5×1^2=10หลักหน่วยไม่เป็น6ก็ใช้ไม่ได้ n=2----6+5×2=6ใช้ได้ต่อไปก็ลองเป็นเลขคู่ n=4----6+5×6=6ก็ใช้ได้ลองต่อไป . . . n=2012จะได้6+5×4ได้หลักหน่วยเป็น6 เพราะอย่างงั้นจะได้ง่าตัวที่ทำให้5หารลงตัวได้ก็เลยต้องเป็นเลขคู่ เพราะฉะนั้นก็ต้องหารด้วย2ได้และเป็นเลขคู่ใช้ สูตรเลขคณิตหาตามหลัก ของaในพจน์ที่nแล้วก็หามาจะได้1006จำนวน ถูกมั้ยครับถ้าถูกก็บอกด้วยหรือผิดก็บอกมาเลยครับ
__________________
IF YOU HAVE TIME DONt WASTE IT |
|
|