|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
Matrix problem !
Let $A$ be an $n \times n$ matrix. Show that $A^2 = BA$ for some invertible matrix $B$ $\Leftrightarrow$ $rank(A^2) = rank(A)$
รบกวนพี่ๆแนะนำหน่อยครับ |
#2
|
||||
|
||||
ขาไป $\Rightarrow$ ใช้ fact ว่า คูณด้วย invertible matrix ไม่เปลี่ยน rank เลยได้ rank(BA)=rank(A)
ดู fact นี้ง่ายๆได้จาก elimination เพราะ elimination ก็คือการคูณด้วย elementary matrix ซึ่งก็ invertible, มองต่อไปอึกจะสังเกตว่า ทุก invertible matrix เขียนอยู่ในรูปผลคูณของ elementary matrix ได้ ดังนั้น BA ก็เหมือนทำ row operation กับ A. ไม่ได้เปลี่ยน rank ขากลับ $\Leftarrow$ rank เท่ากัน แปลว่าจำนวน nonzero pivots ตอนท้ายของ elimination เท่ากัน ดังนั้น มี elementary matrix E1, E2 ที่ทำให้ $E_1A^2 = E_2A=I_r$ (มี 1 อยู่ r ตัวที่ diagonal ไล่จากซ้ายบน) และ elementary matrix มัน invertible; $A^2=(E_1)^{-1}E_2A=BA$
__________________
I am _ _ _ _ locked 25 สิงหาคม 2015 17:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ t.B. |
#3
|
|||
|
|||
ในกรณีนี้เหมือนกับว่าให้ ${(E_1)^{-1}}E_2 = B$ แล้วมันแปลว่า matrix $B$ ต้อง invertible ด้วยเหรอครับ
|
#4
|
||||
|
||||
ผลคูณ invertible ได้ invertible ครับ (check!)
__________________
I am _ _ _ _ locked |
#5
|
|||
|
|||
โอวววว ขอบคุณที่ชี้แนะครับ
|
#6
|
||||
|
||||
ผมแถมโจทย์ให้ไปคิดเล่นๆอีกข้อ (เห็นว่าเป็น general fact ที่มีประโยชน์)
Fact: matrices คูณกัน rank มีแต่จะลดลงหรือเท่าเดิม(เท่ากับ rank ต่ำสุดของตัวที่คูณเสมอ) ไม่มีเพิ่มขึ้น! (check!) นั่นแปลว่าข้อบน ถ้า $A^2 $ไม่ใช่ BA โดย B invetible แล้ว$ rank(A^2)\leqslant rank(A)$
__________________
I am _ _ _ _ locked 27 สิงหาคม 2015 07:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ t.B. |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Matrix ประกอบ | lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o | คอมบินาทอริก | 9 | 30 มีนาคม 2013 00:23 |
Matrix ดัดแปลง | lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 0 | 09 มกราคม 2013 23:28 |
matrix problem | brother | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 5 | 14 กรกฎาคม 2008 10:35 |
ปัญหาการพิสูจน์เกี่ยวกับ matrix | warut | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 9 | 29 มีนาคม 2006 03:50 |
matrix problem | brother | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 4 | 17 เมษายน 2005 19:49 |
|
|