#1
|
|||
|
|||
แยกตัวประกอบ
Prove that for any integer n > 1, $ n^{12} + 64 $ can be written as the product of four distinct positive integers greater than 1.
ลองคิด 2 แบบ แยกตัวประกอบได้เท่านี้ ช่วยคิดหน่อยนะคะ 1. $ (n^3)^4 + 4\cdot 2^4 $ $ = (n^6 - 4n^3 + 8) (n^6 + 4n^3 + 8) $ 2. $ (n^4)^3 + (2^2)^3 $ $ = (n^4 + 4)( n^8 - 4n^4 + 16) $ $ = (n^2 - 2n + 2) (n^2 + 2n + 2)( n^8 - 4n^4 + 16) $ |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 08 สิงหาคม 2015 19:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#3
|
|||
|
|||
ถ้าไม่ทราบมาก่อนว่าสีนำ้เงินเป็นตัวประกอบ
จะมีวิธีการแยกตัวประกอบสีแดงอย่างไรคะ ขอบคุณค่ะ |
#4
|
|||
|
|||
ถ้าให้ทำแบบไม่เดาสุ่มผมคงพยายามแยกออกมาเป็น
$n^6-4n^3+8=(n^2+an+b)(n^4+pn^3+qn^2+rn+s)$ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์เอา การเดาตัวประกอบรูปแบบนี้เพราะได้ผ่านการวิเคราะห์มาแล้วครับว่า ตัวประกอบที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มของพหุนามนี้ที่เป็นกำลังหนึ่งไม่มี และกำลังสามก็ไม่มี จึงควรจะมีกำลังสองกับกำลังสี่ และเหตุผลที่ว่าทำไมถึงควรจะแยกตัวประกอบได้อีกก็มาจากตัวโจทย์ ซึ่งชี้นำว่าเราจะต้องได้ตัวประกอบถึงสี่ตัวสำหรับ $n^{12}+64$ แต่ที่คุณทำมานี่ผมว่าน่าจะดีสุดแล้วนะครับ การแยกตัวประกอบสองแบบที่ได้ตัวประกอบต่างกัน จะบอกเราว่าตัวประกอบทั้งหมดควรเป็นอะไร
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#5
|
|||
|
|||
ขอบคุณ คุณ nooonuii สำหรับความคิดเห็นที่เป็นประโยชน์นะคะ
การแยกตัวประกอบทั้ง 2 แบบ สุดท้ายจะได้ตัวประกอบเฉพาะ ชุดเดียวกัน $n^2 - 2n + 2\;$ และ $\; n^2 + 2n + 2 \;$เป็นตัวประกอบเฉพาะ เพราะให้ค่า n ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม $n^2 - 2n + 2\;$ และ $\; n^2 + 2n + 2\;$ จึงต้องเป็นตัวประกอบของ $\; n^6 - 4n^3 + 8\;$ และ $\; n^6 + 4n^3 + 8 \;$ ในแบบที่ 1 โดยการหาร หรือจะใช้วิธีคาดเดาแล้วตรวจสอบ จะได้ $(n^6 - 4n^3 + 8) = (n^2 + 2n + 2)(n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 4n + 4)$ $(n^6 + 4n^3 + 8) = (n^2 - 2n + 2)(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 4n + 4)$ $n^{12} + 64 = (n^2 + 2n + 2)(n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 4n + 4)(n^2 - 2n + 2)(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 4n + 4)$ จาก n > 1, $n^2 + 2n + 2 \;$และ $\; n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 4n + 4\;$ มีค่ามากกว่า 1 $n^2 - 2n + 2 = (n-1)^2 + 1 \geq 2$ $n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 4n + 4 = n(n-2)(n^2 + 2) + 4 \geq 4$ ดังนั้น ตัวประกอบทุกตัวมีค่ามากกว่า 1 ถูกไหมนะ |
|
|