|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#31
|
||||
|
||||
จงหาจำนวนเต็มบวก $x,y$ ซึ่ง $x\not= y$ และ $$x^{y(y+1)}+y^{x(x+1)} = x^yy^{x^2}+y^xx^{y^2}$$
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ |
#32
|
||||
|
||||
ไม่เเน่ใจนะครับ
ถ้า $\sqrt[n]{x}\in\mathbb{Q}$ เเล้ว $\sqrt[n]{x}$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม ทุกจำนวนเต็มบวก $n,x$ แยก ตปก. ได้ว่า $(x^y-y^x)(x^{y^2}-y^{x^2})=0$ Proof Let $\sqrt[n]{x}=\dfrac{a}{b}$ for some $a,b\in\mathbb{N}$ so $a^n=xb^n$ and let prime $p$ and the biggest $\alpha$ such that $p^\alpha||b$ implies $p^{n\alpha}|b^n\rightarrow p^{n\alpha}|a^n$ so $p^\alpha|a$ therefore $b|a$ กรณี $x^y=y^x$ พบว่า $x\ge 2$ WLOG $y>x$ จัดรูปได้ว่า $\Big(\dfrac{y}{x}\Big)^{x+y}=(xy)^{y-x}$ ทำให้ $x|y$ ให้ $y=kx$ โดย $k>1$ จัดรูปได้ $x^k=kx\therefore x^{k-1}=k\ge 2^{k-1}$ ซึ่ง induction ได้ไม่ยากว่า มี $k=2$ เท่านั้น ได้ $(x,y)=(2,4),(4,2)$ กรณี $x^{y^2}=y^{x^2}$ ทำนองเดียวกัน จะพบว่าไม่มีคำตอบ
__________________
Vouloir c'est pouvoir 17 กรกฎาคม 2015 19:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#33
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
วิธีของผม กรณี $x^y=y^x$ ให้ $y>x \rightarrow y=x+c , c\in \mathbb{N} $ จะได้ $x^{x+c} = (x+c)^x$ $x^c = (1+\frac{c}{x} )^x$ $x = (1+\frac{c}{x} )^{\frac{x}{c}} < e$ $x=2$ กรณี $x^{y^2} = y^{x^2}$ ก็ทำคล้ายๆกัน
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ |
#34
|
|||
|
|||
ช่วยพิสูจน์ให้ดูหน่อยนะคะ
|
#35
|
||||
|
||||
$x^{(x+c)^2} = (x+c)^{x^2}$
$x^{2xc+c^2} = (1+\frac{c}{x})^{x^2}$ $x^{2+\frac{c}{x}} = (1+\frac{c}{x})^{\frac{x}{c}} < e$ $x^2 < 3$
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ |
#36
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากนะคะ
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Functional Equation Marathon | Pitchayut | พีชคณิต | 57 | 16 เมษายน 2016 17:00 |
The art and craft of problem solving มีแปลแล้วนะครับ | HL~arc-en-ciel | ฟรีสไตล์ | 22 | 18 มิถุนายน 2012 05:56 |
functional equation(Cauchy's equation) and composition function | tukkaa | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 0 | 25 พฤษภาคม 2011 10:53 |
problem-solving math | promath | ฟรีสไตล์ | 3 | 17 พฤษภาคม 2005 23:20 |
Solving Heat equation by Boundary Element Methods | <Musiela> | Calculus and Analysis | 0 | 09 กรกฎาคม 2001 09:34 |
|
|