ช่วยพิสูจน์หน่อยคับ ขอบคุณมากคับ

[คณิตคิดไม่ถึง]

ให้ A เป็นสับเซตของจำนวนนับ และไม่ใช่เซตว่าง โดยที่ A เป็นเซตจำกัด และมีขอบเขตบน จงพิสูจน์ว่า จะมี a ที่เป็นสมาชิกของA ซึ่ง a =lub(A)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คณิตคิดไม่ถึง

ให้ A เป็นสับเซตของจำนวนนับ และไม่ใช่เซตว่าง โดยที่ A เป็นเซตจำกัด และมีขอบเขตบน จงพิสูจน์ว่า จะมี a ที่เป็นสมาชิกของA ซึ่ง $a =lub(A)$

เนื่องจาก $A$ ไม่เป็นเซตว่างและมีขอบเขตบน $A$ จะมีขอบเขตบนน้อยสุดโดยสมบัติความบริบูรณ์

สมมติว่า $u=lub(A)$ จะพิสูจน์ว่า $u\in A$

สมมติว่า $u\not\in A$

พิจารณา $u-1$ จะพบว่ามีสมาชิก $a_1\in A$ ซึ่ง $u-1 \leq a_1< u$

เพราะว่าถ้าไม่มีสมาชิกดังกล่าวจะทำให้ $u-1$ มีค่ามากกว่าสมาชิกทุกตัวใน $A$

ทำให้ $u-1$ กลายเป็นขอบเขตบนของ $A$ ซึ่งขัดแย้ง กับการที่ $u$ เป็นขอบเขตบนน้อยสุด

และเนื่องจาก $u\not\in A$ จะได้ว่า $a_1<u$

ในทำนองเดียวกันจะได้ว่ามี $a_2\in A$ ซึ่งทำให้ $a_1<a_2<u$

ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆจะได้ว่ามี $a_1,a_2,a_3,\ldots \in A$ ซึ่ง $a_1<a_2<a_3<\cdots<u$

ซึ่งขัดแย้งกับการที่ $A$ เป็นเซตจำกัด ดังนั้น $u\in A$

[คณิตคิดไม่ถึง]

ขอบคุณครับ