#1
|
|||
|
|||
รบกวนด้วยครับ
สวัสดีคับพี่ๆ
ผมมีโจทย์ 2 ข้อคิดเท่าไหร่ก็คิดไม่ออกครับ รบกวนพี่ๆด้วยครับ 1.สมการ X^3+X+1=0 มีคำตอบคือ a,b,c ให้ P(X) เป็นพหุนามดีกรี 3 ที่มี P(0)=-2 ถ้ารากของสมการ P(X)=0 คือ a^2, b^2, C^2 จงหาค่าของ P(4) 2.ให้ X เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ทำให้ X^2+x+1=0 เเล้วค่าของ (X+(1/x))^2 +(X^2+(1/x^2))^2 +(X^3+(1/x^3))^2 +... + +(X^27+(1/x^27))^2 |
#2
|
||||
|
||||
1.$a+b+c=0,ab+bc+ca=1,abc=-1$
$P(x)=k(x-a^2)(x-b^2)(x-c^2)$ $P(4)$ แทนตรงๆเลยครับไม่ต้องหา $a,b,c$ แต่ละตัว
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. 25 มีนาคม 2015 20:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth |
#3
|
||||
|
||||
2. จาก $x^2+x+1=0$ และ $x\not=0$ จะได้ว่า
$x+1+\frac{1}{x}=0$ $x+\frac{1}{x}=-1$------------->$(x+\frac{1}{x})^2=1$ $x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=-1$--------->$(x^2+\frac{1}{x^2})^2=1$ $x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})-(x+\frac{1}{x})=2$---------->$(x^3+\frac{1}{x^3})^2=4$ $x^4+\frac{1}{x^4}=(x^2+\frac{1}{x^2})^2-2=-1$--------->$(x^4+\frac{1}{x^4})^2=1$ $x^5+\frac{1}{x^5}=(x^2+\frac{1}{x^2})(x^3+\frac{1}{x^3})-(x+\frac{1}{x})=-1$------>$(x^5+\frac{1}{x^5})^2=1$ $x^6+\frac{1}{x^6}=(x^3+\frac{1}{x^3})^2-2=2$------>$(x^6+\frac{1}{x^6})^2=4$ ดังนั้น ผลบวก $=(1+1+4)+(1+1+4)+....+(1+1+4)$ $9$วงเล็บ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#4
|
|||
|
|||
ข้อ 1. ผมมีวิธีง่ายกว่านั้น
ให้ $Q(x)=x^3+x+1$ มี $a, b, c$ เป็นราก เห็นได้ชัดว่า $k\cdot Q(\sqrt{x})$ มี $a^2, b^2, c^2$ เป็นราก เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ (จริงใช่ไหม) หลังจากนั้นเราก็แทนค่า $k({\sqrt{x}}^3+\sqrt{x}+1)=0$ $k(x+1)\sqrt{x}=-k$ $k^2 x(x^2+2x+1)=k^2$ $k^2(x^3+2x^2+x-1)=0$ เราจะได้ $P(x)=k^2(x^3+2x^2+x-1)$ จากโจทย์ $P(0)=-2$ แทนลงไปตรงๆ จะได้ $k^2=2$ ดังนั้น $P(4)=2(4^3+2\cdot 4^2+4-1)=198$ หมายเหตุ : ไอเดียนี้มาจากหนังสือ Art Of Problem Solving หน้า 273 ส่วนข้อ 2 ผมสร้างความสัมพันธ์เวียนเกิดได้ โดยให้ $s_x=x+\displaystyle{\frac{1}{x}}$ จากสูตรของ viete กรณีสองพจน์ ที่กล่าวไว้ว่า $(ax^n+by^n)=(x+y)(ax^{n-1}+by^{n-1})-xy(ax^{n-2}+by^{n-2})$ ซึ่งพิสูจน์โดยการกระจายทั้งสองข้างได้ จะได้ว่า $\displaystyle{s_n=\left(\,x+\frac{1}{x}\right)s_{n-1}-s_{n-2}}$ เพราะว่า $x^2+x+1=0$ เมื่อหาร $x$ ทั้ง 2 ข้างจะได้ $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=-1}$ ดังนั้นจะได้ว่า $s_n=-(s_{n-2}+s_{n-1})$ โดยมีค่าเริ่มต้นคือ $s_0=2, s_1=-1$ แล้วก็ไล่หาไปตั้งแต่ 2-27 แล้วนำมาบวกกันก็จะได้คำตอบ 08 เมษายน 2015 15:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut |
#5
|
||||
|
||||
ขอบคุณ คุณ Pitchayut มากเลยครับ
ขอถามนิดนึงนะครับ ตรง $s_{0}=2,s_{1}=-1$ หายังไงเหรอครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#6
|
|||
|
|||
ขอบคุณพี่ๆทุกคนมากครับ ยากจังแต่จะพยายามฝึกครับ
|
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$$s_1=x+\frac{1}{x}=-1$$ (หมายเหตุ : $\displaystyle{x+\frac{1}{x}}$ ผมหาไว้แล้วในวิธีทำ) |
#8
|
||||
|
||||
ถ้าทำตามที่คุณ Pitchayut แนะนำนะครับ จะได้
$s_0=2,s_1=-1,s_2=3,s_3=-4,s_4=7,s_5=-11,s_6=18$ บวกกันจะได้คำตอบคือ $14$ แบบนี้เหรอครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM 05 เมษายน 2015 05:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ poper |
|
|