|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ช่วยคิดหน่อยครับ
จงหาเศษจากการหาร $1+3^1+3^2+...+3^{98}$ จาก $101$ อ่ะครับ
__________________
Mathematics is not about finding X but finding whY. 01 ธันวาคม 2014 16:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Panithi Vanasirikul |
#2
|
||||
|
||||
เพราะว่า $101$ เป็นจำนวนเฉพาะ
$3^{101-1} \equiv 1 \pmod{101}$ $(3-1)(3^{99}+3^{98}+3^{97}+...+3+1)\equiv 0 \pmod{101}$ เพราะเหตุว่า $101\nmid 2$ ดังนั้น $101\mid 3^{99}+3^{98}+3^{97}+...+3+1$ $3^{98}+3^{97}+...+3+1 \equiv -3^{99} \pmod{101} $ แทนค่าเรื่อยๆ พบว่า $3^{25} \equiv 10 \pmod{101} $ $3^{50} \equiv 100 \equiv -1 \pmod{101} $ $3^{75} \equiv -10 \pmod{101}$ ทำต่อดูครับ ได้ เศษ $67$
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. |
#3
|
||||
|
||||
mod กับเครื่องหมาย สามขีดนั่นคืออะไรครับ คือผมยังไม่ได้เรียนเลยอ่ะครับ ไปเจอในข้อสอบเก่าเข้ากำเนิดวิทย์เลยลองถามอ่ะครับ
__________________
Mathematics is not about finding X but finding whY. |
#4
|
||||
|
||||
$a \equiv b \pmod{c}$ หมายความว่า $a$ และ $b$ แต่ละตัวเมื่อหารด้วย $c$ จะเหลือเศษเท่ากัน
เครื่องหมาย $\equiv$ อ่านว่าคอนกรูเอนซ์ $Fermat's$ $Little$ $Theorem$ $a^{p-1} \equiv 1 \pmod {p}$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. 02 ธันวาคม 2014 20:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth |
#5
|
||||
|
||||
ลองอ่านบทความจากเว็บนี้ดูครับ http://www.vcharkarn.com/vblog/36819
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. |
#6
|
||||
|
||||
อ่านเเล้วงงอ่ะครับ อย่างเช่นว่าทำไมเศษจากการหาร 3^101-1=1 อ่ะครับ มีวิธีอธิบายอื่นมั้ยครับ
__________________
Mathematics is not about finding X but finding whY. |
#7
|
||||
|
||||
อ่านอันนี้ก็ได้นะ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=11249 ของคุณbanker
แต่จริงๆช้อแบบนี้มีวิธีสวยๆที่ใช้ Fermat อย่างเดียวอยู่ครับ ก่อนอื่น พิจารณาว่า $2(1+3+3^2+\cdots+3^{98})=3^{99}-1$ แต่โดย Fermat Little Theorem $3^{100} \equiv 1 \pmod {101}$ $3\times 3^{99} \equiv 1 \pmod {101}$ จะเห็นว่าอยู่ในรูป $3A \equiv 1 \pmod {101}$ ก็จะเป็นการแก้สมการคอนกรูเอนซ์ ซึ่งลองแก้แบบนี้ก็ได้ ก่อนอื่นพิจารณาว่า $1+101 =3\times 41$ ซึ่งหารด้วย $3$ ลงตัว $3A \equiv 102 \pmod {101}$ $3A \equiv 3 \times 34 \pmod {101}$ จะได้ $A \equiv 34 \pmod {101}$ จาก $(3,101)=1$ (เป็นสมบัติคอนกรูเอนซ์) $3^{99} \equiv 34 \pmod {101}$ ซึ่งถ้าทำแบบบข้อความข้างบนต่อก็จะได้ $1+3+3^2+\cdots+3^{98} \equiv -3^{99} \equiv -34 \equiv 67 \pmod {101}$ ดังนั้นก็จะตอบเหลือเศษ $67$ แต่ถ้าอยากลองฝึกใช้เทคนิคแบบนี้ต่ออีกที ก็ลองทำต่อ จาก $2(1+3+3^2+\cdots+3^{98})=3^{99}-1 \equiv 33 \equiv -68 \pmod {101}$ $1+3+3^2+\cdots+3^{98} \equiv -34 \pmod {101} \quad ((2,101)=1)$ หรือ $1+3+3^2+\cdots+3^{98} \equiv 67 \pmod{101}$ ได้คำตอบเท่ากันครับ วิธีนี้ทำจริงๆก็ถือว่าสั้นครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
#8
|
||||
|
||||
สั้นมากๆเลยครับวิธีของพี่ Thgx0312555 ขอบคุณครับ
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. |
#9
|
||||
|
||||
ทำอีกวิธี
$1+3^1+3^2+...+3^{98}=\frac{(3^{99}-1)}{2}$
เศษที่ได้จากการหาร $1+3^1+3^2+...+3^{98}$ ด้วย $101$ = เศษที่ได้จากการหาร $\frac{(3^{99}-1)}{2}$ ด้วย $101$ เศษที่ได้จากการหาร $\frac{(3^{99}-1)}{2}$ ด้วย $101$ =เศษที่ได้จากการหาร $\frac{(3^8)^{12}\cdot 3^3-1}{2}$ ด้วย $101$ =เศษที่ได้จากการหาร $\frac{(6561)^{12}\cdot 3^3-1}{2}$ ด้วย $101$ =เศษที่ได้จากการหาร $\frac{(-4)^{12}\cdot 3^3-1}{2}$ ด้วย $101$.....[$101$ หาร ุ$6561$ ได้เศษ $97$ ซึ่งเสมือนว่าเศษ $(-4)$ =เศษที่ได้จากการหาร $\frac{4^{12}\cdot 3^3-1}{2}$ ด้วย $101$ =เศษที่ได้จากการหาร $\frac{(4^5)^2\cdot 4^2\cdot 3^3-1}{2}$ ด้วย $101$ =เศษที่ได้จากการหาร $\frac{(1024)^2\cdot 16\cdot 3^3-1}{2}$ ด้วย $101$ =เศษที่ได้จากการหาร $\frac{(14)^2\cdot 4^2\cdot 3^3-1}{2}$ ด้วย $101$....[$101$ หาร ุ$1024$ ได้เศษ $14$] =เศษที่ได้จากการหาร $\frac{196\cdot 16\cdot 3^3-1}{2}$ ด้วย $101$ =เศษที่ได้จากการหาร $\frac{(-6)\cdot 16\cdot 3^3-1}{2}$ ด้วย $101$....[$101$ หาร ุ$196$ ได้เศษ $95$ เสมือนว่าเศษ $(-6)$] =เศษที่ได้จากการหาร $\frac{(-2592)-1}{2}$ ด้วย $101$ =เศษที่ได้จากการหาร $\frac{(-67)-1}{2}$ ด้วย $101$...[$101$ หาร ุ$2592$ ได้เศษ $67$] =เศษที่ได้จากการหาร $\frac{(-68)}{2}$ ด้วย $101$ =เศษที่ได้จากการหาร $(-34)$ ด้วย $101$ =เศษ $(-34)$........[เศษ $(-34)$ คือเศษ $67$] เศษคือ $67$ |
|
|