|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
[Junior Balkan MO 2000] ช่วยทีครับๆงงมาก
จงหาจำนวนเต็มบวก (x,y) ทั้งหมดที่ทำให้
$x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000$ |
#2
|
||||
|
||||
$x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000$
$(x+y)(2x^2+2y^2+xy)=2000-30xy$ $x+y=m,xy=n$ เมื่อ $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก $x^2+y^2=m^2-2n$ $m(2m^2-3n) =2000-30n$ $2m^3-2000=3n(m-10)$ $\frac{2m^3-2000}{3(m-10)}=n $ เมื่อ $m\not= 10$ $n=\frac{2(m^3-1000)}{3(m-10)} $ $=\frac{2(m^2+10m+100)}{3} $ จะได้ว่า $n$ เป็นจำนวนเต็มเมื่อ $3$ หาร $m^2+10m+100$ ลงตัว กำหนดให้ $m=3a+b$ เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $0\leqslant b \leqslant 2 $ $m^2+10m+100=(3a+b)^2+10(3a+b)+100$ $=9a^2+6ab+b^2+30a+10b+100$ $=(9a^2+6ab+30a+9b+99)+(b^2+b+1)$ พจน์นี้จะหารด้วย 3 ลงตัวเมื่อ $b^2+b+1$ หารด้วย 3 ลงตัว $b=0,b^2+b+1=1$ $b=1,b^2+b+1=3$ $b=2,b^2+b+1=7$ ดังนั้นเรารู้แล้วว่า $m=3a+1$ $x=m-y$ $y(m-y)=n$ $my-y^2=n \rightarrow y^2-my+n=0$ $y=\frac{m\pm \sqrt{m^2-4n} }{2} $ มาพิจารณา $n$ $n=\frac{2((3a+1)^2+10(3a+1)+100)}{3} $ $=\frac{2(9a^2+6a+1+30a+10+100)}{3} $ $=6a^2+24a+74$ $y=\frac{(3a+1)\pm \sqrt{(3a+1)^2-4(6a^2+24a+74)} }{2} $ $=\frac{(3a+1)\pm \sqrt{-295-90a-15a^2} }{2}$ เดี๋ยวมาทำต่อครับ อยู่เวรครับ เหลือแต่หาขอบเขตของค่า $a$ ยังไปต่อไม่ได้ เดี๋ยวขอคิดในกระดาษก่อนครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 30 กรกฎาคม 2014 22:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#3
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ทำไม m ถึงไม่สามารถเป็น 10 ได้หรือคะ กับ ถ้าลองหาค่าต่ำสุดของ $\frac{2m^3-2000}{3(m-10)}-n $ ดีไหมคะ สวัสดีค่ะ ขอตัวไปจิบชาก่อนนะคะ (ฝากบอกคนอื่นด้วยค่ะ ว่าอย่าทานขนมที่ดิฉันเสแสร้งทำตกไว้) |
#4
|
||||
|
||||
ไปเจอเฉลยมาแล้วครับ เขาแยกตัวประกอบเฉยๆครับตามภาพประกอบ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#5
|
||||
|
||||
ตัวข้อสอบจากข้อสอบนี่ครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#6
|
|||
|
|||
ขอบคุณคุณ Banker มากๆครับอิอิ
|
#7
|
||||
|
||||
|
#8
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับน้องScylla_shadow
ผมทำตอนนี้ใหม่ $2m^3-2000=3n(m-10)$ $2(m-10)(m^2+10m+100)-3n(m-10)=0$ $(m-10)\left[\,2(m^2+10m+100)-3n\right] =0$ จะได้ว่า $(m-10)=0$ หรือ $\left[\,2(m^2+10m+100)-3n\right] =0$ เดี๋ยวมาพิสูจน์ว่า $\left[\,2(m^2+10m+100)-3n\right] \not= 0$ ในกรณีที่ $\left[\,2(m^2+10m+100)-3n\right] =0$ เราจะได้ว่า $n=\frac{2(m^2+10m+100)}{3} $ และ $y^2-my+n=0$ $y=\frac{m\pm \sqrt{m^2-4n} }{2} $ มาพิจารณา $m^2-4n=m^2-\frac{8(m^2+10m+100)}{3}$ $=-\frac{(5m^2+80m+800)}{3}$ เนื่องจาก $m>0$ ดังนั้น $-\frac{(5m^2+80m+800)}{3}<0$ ดังนั้น เมื่อ $\left[\,2(m^2+10m+100)-3n\right] =0$ สมการ $y^2-my+n=0$ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง ดังนั้นเหลือ $m=10$ กรณีเดียว
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 02 สิงหาคม 2014 12:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ เหตุผล: เพิ่มรายละเอียด |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
IWYMIC 2000 | Thamma | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น | 11 | 07 เมษายน 2015 20:20 |
โจทย์คณิตในIndian?National?Junior?Science?Olympiad ? | กิตติ | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น | 109 | 24 กุมภาพันธ์ 2012 16:23 |
JUNIOR CALCULUS EXAMINATION | คusักคณิm | Calculus and Analysis | 2 | 20 ตุลาคม 2008 17:29 |
|
|