ความน่าจะเป็น

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

มี ชาย 3 คน , หญิง 4 คน นั่งเก้าอี้ 7 ตัวในแนวเส้นตรง หนึ่งในนั้นมี เด็กชายรักคณิตอยู่ด้วย

จงหาความน่าจะเป็นที่เด็กชายรักคณิตไม่นั่งติดกับชายใดเลย

ผมคิดแล้วคำตอบไม่ตรงกับเฉลย ลองแสดงให้ดูหน่อยครับ

[กิตติ]

ผมเข้าใจโจทย์ว่า คือ เอาผู้หญิงตั้งไว้แล้วจัดเอาผู้ชายลงแทรกระหว่างผู้หญิง
_O_0_0_0_
จัดลงได้ $P_{5,3}$
เท่ากับ $5\times 4\times 3=60 $

จัดคน 7 คนเป็นแถวตรง ได้ $7!=840$
ความน่าจะเป็นตามที่โจทย์ถามคือ $\frac{1}{14} $

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

$N(S)=7!$

จำนวนวิธีที่ไม่นั่งติดกับชายใดเลย=จำนวนวิธีทั้งหมด - จำนวนวิธีที่นั่งติดกับชายอย่างน้อย 1 คน

1.นำเด็กชายรักคณิตแยกออกมาก่อน

2.เลือกชายคนใดคนหนึ่งใน 2 คนที่เหลือนั่งติดกับเด็กชายรักคณิต เลือกได้ 2 วิธี จับรวมกันเป็นกลุ่มหนึ่งสลับที่เกินได้อีก 2 วิธี รวมแล้วเป็น 4 วิธี

3.เหลือคนอีก 5 คน สลับได้ 5! วิธี

4.สมมติให้ แทนคน

1 2 34 56

สังเกตว่านำเด็กชายรักคณิตและชายอีกคนที่เลือก มาใส่ได้ 6 วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีที่นั่งติดกับชายอย่างน้อย 1 คน=4(5!)(6)=2880

$P(E)=\frac{5040-2880}{5040} =\frac{2160}{5040} =\frac{3}{7} $

----------------------------------------

แต่เฉลย ว่า $\frac{10}{21} $

ช่วยเช็คให้หน่อยครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ผมเข้าใจโจทย์ว่า คือ เอาผู้หญิงตั้งไว้แล้วจัดเอาผู้ชายลงแทรกระหว่างผู้หญิง
_O_0_0_0_
จัดลงได้ $P_{5,3}$
เท่ากับ $5\times 4\times 3=60 $

จัดคน 7 คนเป็นแถวตรง ได้ $7!=840$
ความน่าจะเป็นตามที่โจทย์ถามคือ $\frac{1}{14} $

มีเฉพาะนักเรียนรักคณิตที่โดนบังคับว่าไม่ให้นั่งติดกับชายใดๆ

แล้วก็ $7!=5040$ ครับ

[กิตติ]

ผมอ่านโจทย์แล้วตีความผิดเอง
วิธีง่ายที่สุดน่าจะใช้เรื่องของคอมพลีเมนต์อย่างที่เจ้าของโจทย์ทำคือหาวิธีที่ติดกับผู้ชาย 1คนและสองคน
1.นั่งติดกันสามคน จำนวนวิธีเท่ากับ $5!=120$ ข้างในสลับอีก $3!$ เกิดได้ $720$
2.นั่งติดกันสองคน เลือกคนหนึ่งมานั่งติดกัน ได้ 2 วิธี จัดลงในแถวได้จำนวนวิธีเท่ากับ $P_{5,2}=20$ ข้างในสลับกันได้อีก 2 วิธี ผู้หญิงสลับกันได้อีก $4!=24$ รวมเท่ากับ $2\times 20\times 2\times 24=1920$

ความน่าจะเป็นที่ดช.รักคณิตนั่งติดอย่างน้อยหนึ่งคนคือ $\frac{2640}{5040}=\frac{11}{21} $
ความน่าจะเป็นที่ดช.รักคณิตไม่นั่งติดผู้ชายคือ $1-\frac{11}{21}=\frac{10}{21}$

เดี๋ยวดึกๆเข้ามาใหม่ ไปรับลูกก่อนครับ เรียนพิเศษเสร็จแล้ว

[กิตติ]

ที่เจ้าของกระทู้ได้วิธีเกิน มันมีการนับซ้ำอยู่ครับ ลองไล่ตอนวางเรียงให้ดีมันซ้ำกันอยู่ครับ
ถ้ายังไล่ไม่ออกรอสักสามทุ่มเดี๋ยวผมอธิบายให้ฟังอีกที ภาพมันแจ่มขึ้นในหัวแล้ว พอมองออกแล้วว่าทำไมมันนับเกินไป 200 วิธี

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

อธิบายวิธีของผมก็ดีครับ ตามจริงผมก็พอจะมองออกแล้วว่ามันเกิน

แต่จะที่มีแค่ที่เดียว หรือ เพื่อให้กระจ่าง ก็ ขอบคุณมากครับ

ไว้จะรอ มาเปิดดูใหม่นะครับ

[กิตติ]

$2880-2640=240$
ลองพิจารณากรณีที่กลุ่มผู้ชายสองกลุ่มมาวางชิดกัน คือ (1)(รักคณิต)(2) มันเกิดได้จาก
1. (1)(รักคณิต)+(2) หรือ
2. (1)+(รักคณิต)(2)
ทำให้เกิดการนับซ้ำไป $120$ วิธี
เช่นเดียวกันกับอีกกรณีหนึ่งคือ (2)(รักคณิต)(1) อธิบายได้เช่นเดียวกับตอนแรก จึงนับเกินไป $120$ วิธี
ผมคิดว่านับซ้ำเพียงสองกรณีนี้เท่านั้น รวมแล้วนับเกินไป $240$ วิธี
กรณีอื่นไม่เกิดการนับซ้ำ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ขอบคุณครับ

[artty60]

จำนวนวิธีที่เด็กไม่นั่งติดกับชายใดเลย=จำนวนวิธีทั้งหมด-จำนวนวิธีที่เด็กนั่งติดกับชาย

วิธีทั้งหมด=7!

เด็กนั่งติดกับชาย แบ่งเป็น 2 กรณี

1.มัดเด็กและชาย2คนติดกันเป็นก้อนเดียว $=5\times 3!\times 4!=30(4!)$

2.มัดเด็กติดกับชายคนเดียว $=2\times 2\times 20\times 4!=80(4!)$

จำนวนวิธีที่เด็กไม่นั่ติดกับชายใดเลย $=7!-110(4!)=100(4!)$วิธี

$\therefore P=\frac{100(4!)}{7!}=\frac{10}{21}$