จำนวนเชิงซ้อนครับ

[{ !++_I' M @WESOME_++! }]

ให้z1 = 1/123 + i และ zn+1=zn+i/zn-i
ถ้า z2555 = a+bi จงหาa+b

[กิตติ]

โจทย์น่าจะเป็นแบบนี้
ให้ $z_1 = \frac{1}{123} + i$ และ $z_{n+1}=\dfrac{z_n+i}{z_n-i} $
ถ้า $z_{2555} = a+bi$ จงหา$a+b$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

โจทย์น่าจะเป็นแบบนี้
ให้ $z_1 = \frac{1}{123} + i$ และ $z_{n+1}=\dfrac{z_n+i}{z_n-i} $
ถ้า $z_{2555} = a+bi$ จงหา$a+b$

$z_2=\dfrac{z_1+i}{z_1-i} =\dfrac{ \frac{1}{123} + 2i}{ \frac{1}{123}} =1+246i$

$z_3=\dfrac{z_2+i}{z_2-i} =\dfrac{ 1+123(2)i+ i}{ 1+123(2)i-i} =\dfrac{ 1+247i}{ 1+245i} $

$z_4=\dfrac{z_3+i}{z_3-i} =\dfrac{ \dfrac{ 1+247i}{ 1+245i} +i}{ \dfrac{ 1+247i}{ 1+245i} -i} =\dfrac{-244+248i}{246+246i} $

$z_5=\dfrac{z_4+i}{z_4-i} =\dfrac{ \dfrac{-244+248i}{246+246i} +i}{\dfrac{-244+248i}{246+246i} -i} =\dfrac{-490+494i}{2+2i} =\dfrac{-245+247i}{1+i} $

$z_6=\dfrac{z_5+i}{z_5-i}=\dfrac{\dfrac{-245+247i}{1+i} +i}{\dfrac{-245+247i}{1+i} -i} =\dfrac{-246+248i}{-244+246i} $

$z_7=\dfrac{z_6+i}{z_6-i}=\dfrac{\dfrac{-246+248i}{-244+246i} +i}{\dfrac{-246+248i}{-244+246i} -i} =\dfrac{-492+4i}{492i} =\frac{1}{123}-i $

คาดว่าจะวน $\frac{1}{123} + i.\frac{1}{123} -i,...$ สลับกัน ใน $z_{7n}$

เนื่องจาก $2555=7(365)$

$365$ เป็นเลขคี่ ดังนั้น $z_{2555}= \frac{1}{123} + i$

$a+b= \frac{124}{123}$

[Rosalynn]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

$z_2=\dfrac{z_1+i}{z_1-i} =\dfrac{ \frac{1}{123} + 2i}{ \frac{1}{123}} =1+246i$

$z_3=\dfrac{z_2+i}{z_2-i} =\dfrac{ 1+123(2)i+ i}{ 1+123(2)i-i} =\dfrac{ 1+247i}{ 1+245i} $

$z_4=\dfrac{z_3+i}{z_3-i} =\dfrac{ \dfrac{ 1+247i}{ 1+245i} +i}{ \dfrac{ 1+247i}{ 1+245i} -i} =\dfrac{-244+248i}{246+246i} $

$z_5=\dfrac{z_4+i}{z_4-i} =\dfrac{ \dfrac{-244+248i}{246+246i} +i}{\dfrac{-244+248i}{246+246i} -i} =\dfrac{-490+494i}{2+2i} =\dfrac{-245+247i}{1+i} $

$z_6=\dfrac{z_5+i}{z_5-i}=\dfrac{\dfrac{-245+247i}{1+i} +i}{\dfrac{-245+247i}{1+i} -i} =\dfrac{-246+248i}{-244+246i} $

$z_7=\dfrac{z_6+i}{z_6-i}=\dfrac{\dfrac{-246+248i}{-244+246i} +i}{\dfrac{-246+248i}{-244+246i} -i} =\dfrac{-492+4i}{492i} =\frac{1}{123}-i $

คาดว่าจะวน $\frac{1}{123} + i.\frac{1}{123} -i,...$ สลับกัน ใน $z_{7n}$

เนื่องจาก $2555=7(365)$

$365$ เป็นเลขคี่ ดังนั้น $z_{2555}= \frac{1}{123} + i$

$a+b= \frac{124}{123}$

$z_7\not= z_1$ นะคะ

แนะนำว่า ลองหาค่าของ $z_4$ อย่างง่ายดูนะคะ
จะได้ว่ามีค่าเท่ากับ $z_1$
แล้วทเไปเรื่อยๆจะได้ว่า $z_{2555}=1+246i$ ค่ะ