โจทย์สมาคม

[OMG]

1. ให้ P เป็นพาราโบลา $y = 4x^2$ และ F เป็นจุดโฟกัสของ P จงหาสมการทางเดินของจุดกึ่งกลางของคอร์ดของ P ซึ่งคอร์ดเหล่านี้ผ่านจุดโฟกัส F
2. กำหนดให้ $ \ell$ เป็นเส้นตรงความชัน $ \frac{7}{2}$ และเส้นตรง $ \ell $ ไม่ตัดกับพาราโบลา $ y = x^2 $ กำหนดให้ A และ B เป็นจุด 2 จุดบนเส้นตรง $ \ell$ โดยที่ ส่วนของเส้นตรง AB ยาว 2555 หน่วย จงหาพิกัดของจุด C ที่อยู่บนพาราโบลา $ y = x^2$ ซึ่งทำให้ สามเหลี่ยน ABC มีพื้นที่น้อยที่สุด
3. จงหาค่าของ $(\frac{1+sin(\frac{\pi }{2555})+icos(\frac{\pi }{2555}) }{1+sin(\frac{\pi }{2555})-icos(\frac{\pi }{2555})} )^{2555} $
4. ให้ S เป็นอาณาบริเวณที่ปิดล้อมด้วยกราฟ $y = x(1-x)$ กับแกน $x$ จงหาค่า m ทั้งหมดที่ทำให้เส้นตรง $y = mx$ แบ่ง S เป็น 2 ส่วนที่มีพื้นที่เท่ากัน

ขอบคุณล่วงหน้าครับ ยากมากมาย

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

4. ให้ S เป็นอาณาบริเวณที่ปิดล้อมด้วยกราฟ $y = x(1-x)$ กับแกน $x$ จงหาค่า m ทั้งหมดที่ทำให้เส้นตรง $y = mx$ แบ่ง S เป็น 2 ส่วนที่มีพื้นที่เท่ากัน


จุดตัดของเส้นตรง $y=mx$ กับกราฟ $y=x(1-x)$ ;แทน $y=mx$ ลงใน $y=x(1-x)$

$$mx=x(1-x)$$

$$\therefore m=1-x$$

จุดตัดแกน $x$ ของกราฟ $y=x(1-x)$ ; แทน $y=0$

$$0=x(1-x)$$

$$\therefore x=0,1$$

เส้นตรง $y = mx$ แบ่ง S เป็น 2 ส่วนที่มีพื้นที่เท่ากัน
จะได้ว่า

$$\int_{0}^{1-m}\,x(1-x)dx =\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\,x(1-x)dx $$

$$\int_{0}^{1-m}\,(x-x^2)dx =\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\,(x-x^2)dx $$

$$\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{3} x^3\left|\,\right. 0^{1-m}=\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{3} x^3\left|\,\right. 0^{1})$$

$$\frac{1}{2} (1-m)^2-\frac{1}{3} (1-m)^3=\frac{1}{2} (\frac{1}{2} -\frac{1}{3} )$$

$$3(1-m)^2-2(1-m)^3=\frac{1}{2} $$

$$6(1-m)^2-4(1-m)^3=1$$

$\therefore m=\frac{1}{2} ,\frac{1}{2} (1\pm \sqrt{3} )$

[oKiNeSIuMo]

3. ตอบ -2555 i หรือเปล่าครับ