|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
FE จาก TMO ครั้งที่ 9
จงหาฟังก์ชัน $f:R-->R$ ทั้งหมดซึ่ง $f(f(x)+xf(y))=3f(x)+4xy$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$
คือผมได้แล้วว่า f 1-1 onto f(0)=1 f(1)=3 f(4)=9 f(6)=13 ซึ่งมันก็น่าจะเป็น f(x)=2x+1 คือมันมีวิธีแบบไม่ต้องเดา f(x) ไหมครับ แล้วถ้าใช้วิธีเดาแล้วพิสูจน์ว่าจริงจะได้คะแนนไหมครับ |
#2
|
||||
|
||||
พิสูจน์ได้โดยง่ายว่า f เป็น injective+bijective
แทน y=0 และให้ $f(0)=m$ ดังนั้น $f(f(x)+xm)=3f(x)$---1 แทน $(x,y)=(m,\dfrac{-3}{2})$ $f(3m+mf(\dfrac{-3}{2}))=3m=f(m)$ จาก f เป็น bijective จะได้ว่า $f(\dfrac{-3}{2})=-2$ แทน $(x,y)=(x,\dfrac{-3}{2})$ ได้ $f(f(x)-2x)=3(f(x)-2x)$ และจาก f เป็น bijective จะได้ว่า ทุกๆจำนวนจริง x จะมีจำนวนจริง z ที่ทำให้ $f(z)=f(x)-2x$ แทนลงในสมการได้ $f(f(z))=3f(z)$ แทนลง $(x,y)=(z,m)$ ลงใน 1 ก็จะได้ $f(f(z)+zm)=3f(z)=f(f(z))$ ดังนั้น $mz=0$ ต่อไปจะแสดงว่า $m \not= 0$ เพราะถ้า $m=0$ จะได้ $f(x)=3x$ (จาก f เป็น bijective) ซึ่งไม่สอดคล้องดังนั้น $z=0$ $f(x)=2x+f(0)$ แก้หา $f(0)$ ออกมากได้ $f(x)=2x+1$ |
#3
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#4
|
||||
|
||||
แทน x เป็น 0 สิครับ
|
#5
|
||||
|
||||
ข้อนี้โหดมากเลยครับ
__________________
I'm god of mathematics. |
|
|