ช่วยเช็คให้ด้วยครับ Separation Axioms

[Lekkoksung]

Defintion A topological space $(X, \tau)$ is a $T_{0}$-space if for every $x,y \in X$, $x \not= y$
there is open set $U$ in $X$ such that $x \in U$, $y \not \in U$ or
there is open set $V$ in $X$ such that $x \not \in V$, $y \in V$.

If $X$ and $Y$ are $T_{0}$-spaces, then $X \times Y$ is also $T_{0}$-space.

Let $(x_{1}.y_{1}),(x_{2},y_{2}) \in X \times Y$, $(x_{1}.y_{1})\not=(x_{2},y_{2})$. Then
$x_{1} \not= x_{2}$ and $y_{1} \not = y_{2}$. WLOG suppose that $x_{1} \not= x_{2}$.

If there is open $U$ in X such that $x_{1} \in U$, $x_{2} \not \in U$, then $U \times Y$
is an open set in $X \times Y$ such that $(x_{1}, y_{1}) \in U \times Y$, $(x_{2},y_{2}) \not \in U \times Y$.

If there is open $V$ in X such that $x_{2} \in U$, $x_{1} \not \in V$, then $V \times Y$
is an open set in $X \times Y$ such that $(x_{1}, y_{1}) \not \in V \times Y$, $(x_{1},y_{1}) \in V \times Y$.

Therefore $X \times Y$ is $T_{0}$-space.

ช่วยเช็คให้หน่อยนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lekkoksung

Let $(x_{1}.y_{1}),(x_{2},y_{2}) \in X \times Y$, $(x_{1}.y_{1})\not=(x_{2},y_{2})$. Then
$x_{1} \not= x_{2}$ and $y_{1} \not = y_{2}$.

ข้อสรุปนี้ยังไม่ถูกครับ

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อสรุปนี้ยังไม่ถูกครับ

ถ้าเปลี่ยนเป็น or
ก็ถูกใช่มั้ยครับ

[nooonuii]

ใช่ครับ แต่ต้องปรับการพิสูจน์ด้วยไหม

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ใช่ครับ แต่ต้องปรับการพิสูจน์ด้วยไหม

พิจารณากรณีของ $y_{1} \not= y_{2}$ ด้วยใช่มั้ยครับ

[nooonuii]

น่าจะเข้าใจแล้วนะครับ