#1
|
||||
|
||||
โจทย์น่าสนใจ
1.ให้ w,z เป็นจำนวนเชิงซ้อนทีสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
$1.\frac{1}{z} +\frac{1}{w} =i$ $2.\left|\,w\right| ^2=\left|\,z+w\right| $ $3.\left|\,z-w\right| =1$ จงหา $\left|\,z\right| $ 2.ในการโยนเหรียญ 48 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะออกหัวมากกว่าก้อย |
#2
|
||||
|
||||
โอกาสออกหัวมากกว่าก้อย = โอกาสออกก้อยมากกว่าหัว
คิดแบบนี้หรือเปล่า ไม่แน่ใจ :/
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#3
|
||||
|
||||
จะมีโอกาสที่ออกหัวและก้อยเท่ากันด้วยครับ
|
#4
|
||||
|
||||
ข้อสอง ผมมองว่าโยนเหรียญ 48 ครั้ง มีหัวมากกว่าก้อย ก็มองแค่ว่า ออกหัว 25 ครั้งเป็นต้นไป เพราะยังไงโยนเหรียญมันก็ออกหัวหรือก้อยเท่านั้น
หาคอมพลีเมนท์คือหาความน่าจะเป็นที่ออกหัวน้อยกว่าหรือเท่ากับ 24 ครั้งลงมา ไม่รู้ว่าคิดแบบนี้ได้ไหม ออกหัว1ครั้ง มีโอกาสเกิดได้ $C48,1 \times \frac{1}{2^{48}} $ ออกหัว2ครั้ง มีโอกาสเกิดได้ $C48,2 \times \frac{1}{2^{48}} $ ออกหัว3ครั้ง มีโอกาสเกิดได้ $C48,3 \times \frac{1}{2^{48}} $ ไปจนถึง ออกหัว24ครั้ง มีโอกาสเกิดได้ $C48,24 \times \frac{1}{2^{48}} $ ความน่าจะเป็นที่ออกหัวน้อยกว่าหรือเท่ากับ 24 ครั้งเท่ากับ $\frac{1}{2^{48}}\times \left(\,C48,1+C48,2+...+C48,24\right) $ เดี๋ยวขอเวลานั่งคิดตัวเลขอีกที ไม่รู้ว่าแนวคิดนี้มันจะถูกไหมครับ ผมใช้ $Pn,r$ ตอนแรกนั้นไม่ถูกต้อง ต้องใช้ $Cn,r$ เพราะเหมือนการเอาเหรียญ 48 เหรียญมาวางเรียงกันแล้วเลือกหยิบออกเพื่อวางเหรียญที่ออกหัว จาก $C48,0+C48,1+C48,2+...+C48,24 =2^{48}-\left(\,C48,25+C48,26+...+C48,48\right) $ $=2^{48}-\left(\,C48,23+C48,22+...+C48,0\right)$ $\left(\,C48,25+C48,26+...+C48,48\right)$.... คือออกหัวมากกว่าก้อย $=2^{48}-\left(\,C48,0+C48,1+C48,2+...+C48,24 \right) $ จาก $\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r} $ $C48,0+C48,1+C48,2+...+C48,24=C48,48+C48,47+C48,46+...+C48,24$ ดังนั้น $\left(\,C48,25+C48,26+...+C48,48\right)=2^{48}-\left(\,C48,48+C48,47+C48,46+...+C48,24\right)$ $2\left(\,C48,25+C48,26+...+C48,48\right)=2^{48}-C48,24$ $C48,25+C48,26+...+C48,48=2^{47}-\frac{1}{2} \left(\,C48,24\right) $ ความน่าจะเป็นที่ออกหัวมากกว่าก้อยเท่ากับ $\frac{1}{2^{48}}\times \left(\,2^{47}-\frac{1}{2} \left(\,C48,24\right)\right) $ $\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{49}}\times\left(\,C48,24\right)$ ไม่รู้ว่าตอบเท่านี้ได้ไหม
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 03 มกราคม 2013 12:32 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#5
|
|||
|
|||
ได้เท่ากับคุณหมอกิตติครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 03 มกราคม 2013 13:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#6
|
||||
|
||||
ข้อ 1 ย่อๆนะครับ
จาก 1) และ 2) จะได้ $|z|=|w|$ ให้ $Z,W$ เป็นจุดของ $z,w$ ในระนาบเชิงซ้อน $O$ แทนจุด $(0,0)$ ให้ $\theta$ แทนมุมระหว่างเวกเตอร์ $\overrightarrow{OZ}$ และ $\overrightarrow{OW}$ จะได้ $|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2|z||w|cos\theta$ และ $|z-w|^2=|z|^2+|w|^2-2|z||w|cos\theta$ แทนค่าทีละสมการ $|z|^4=|z|^2+|z|^2+2|z|^2cos\theta$ $1^2=|z|^2+|z|^2-2|z|^2cos\theta$ นำมาบวกกัน จัดรูป $|z|^4-4|z|^2+1=0$ $|z|=\dfrac{\pm\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$ ดังนั้นค่า $|z|$ ที่เป็นไปได้คือ $|z|=\dfrac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 03 มกราคม 2013 22:17 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 เหตุผล: แก้ๆ |
#7
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#8
|
||||
|
||||
2.
จำนวนวิธีการโยนทั้งหมด = $2^{48}$ จำนวนวิธีที่ออกหัวมากกว่าก้อย=จำนวนวิธีทั้งหมด-จำนวนวิธีที่ออกหัวน้อยกว่าหรือเท่ากับก้อย แต่จำนวนวิธีออกหัวมากกว่าก้อย และ ออกก้อยมากกว่าหัว เท่ากัน ดังนั้น $จำนวนวิธีที่ออกหัวมากกว่าก้อย=\frac{จำนวนวิธีทั้งหมด-จำนวนวิธีออกหัวเท่ากับก้อย}{2} $ $=\frac{2^{48}-\binom{48}{24} (1)(1)}{2} $ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ออกหัวมากกว่าก้อยเท่ากับ $\frac{2^{48}-\binom{48}{24} }{2^{49}} $ credit:คุณ Thgx0312555 |
#9
|
||||
|
||||
ข้อแรก ผมคิดได้เท่ากับที่คุณ Thgx0312555คิดไว้
$1.\frac{1}{z} +\frac{1}{w} =i$ $2.\left|\,w\right| ^2=\left|\,z+w\right| $ $3.\left|\,z-w\right| =1$ $\left|\,\frac{1}{z} +\frac{1}{w}\right|=1 $ $\left|\,\frac{w+z}{wz}\right| =1 $ $\frac{\left|\,w+z\right| }{\left|\,wz\right| } =1 $ $\left|\,w+z\right|=\left|\,w\right| \left|\,z\right| = \left|\,w\right| ^2$ $\left|\,w\right|\left(\,\left|\,w\right|-\left|\,z\right| \right) =0 $ เนื่องจาก $\left|\,w\right|\not= 0$ จะได้ว่า $\left|\,w\right|=\left|\,z\right|$ เดี๋ยวมาทำต่อ ทำงานก่อนแป๊ปหนึ่งครับ จาก $\left|\,z\right|^2=z\cdot \overline{z} $ จะได้ว่า $z\cdot \overline{z}=w\cdot \overline{w}$ $\left|\,z-w\right|^2 =1=(z-w)(\overline{z-w} )=(z-w)(\overline{z}- \overline{w} )$ $z\cdot \overline{z} +w\cdot \overline{w}-z\cdot \overline{w}-w\cdot \overline{z}=1$ $2\left|\,z\right|^2-z\cdot \overline{w}-w\cdot \overline{z}=1$...........(1) $\left|\,w\right| ^2=\left|\,z+w\right| =\left|\,z\right| ^2$ $\left|\,z+w\right|^2 =(z+w)(\overline{z+w} )=(z+w)(\overline{z} +\overline{w} )$ $\left|\,z\right| ^4=2\left|\,z\right|^2+z\cdot \overline{w}+w\cdot \overline{z}$...(2) (1)+(2) $\left|\,z\right| ^4-4\left|\,z\right|^2+1=0$ $\left|\,z\right|^2=\frac{4\pm \sqrt{12} }{2} =2 \pm \sqrt{3} $ $\left|\,z\right|=\sqrt{2 \pm \sqrt{3}} $ $\sqrt{2+ \sqrt{3}} =\sqrt{\frac{3}{2} }+\sqrt{\frac{1}{2}} $ $\sqrt{2- \sqrt{3}} =\sqrt{\frac{3}{2} }-\sqrt{\frac{1}{2}}$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 04 มกราคม 2013 11:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#10
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\left|\,z\right|^2=z\cdot \overline{z} $ |
#11
|
||||
|
||||
แก้แล้วครับพี่เล็ก ช่วงนี้เขียนlatexยาวๆแล้วตาลาย คงเริ่มเข้าหลักสี่แล้วสายตาไม่ค่อยดี
วิธีของคุณThgx0312555 น่าสนใจครับ ผมไม่ค่อยถูกโรคกับเวคเตอร์ น่าสนใจที่ใช้พิกัดเชิงมุมของจำนวนเชิงซ้อนมาประยุกต์กับเวคเตอร์
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 04 มกราคม 2013 11:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#12
|
||||
|
||||
ครับ ถูกต้องแล้วครับ
|
|
|