|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
เป็นข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเกียวโต (Kyoto University) อันดับสูสีกับ Todai หรือ Tokyo University มาให้ลองกันดูนะครับ ว่าวัดกึ๋นได้มากน้อยแค่ไหน วันนี้เอามาฝาก 2 ข้อนะครับ
ข้อ 1. กำหนดให้ $$ x^2 + xy +y^2 = 6 โดย \quad x, y \in R$$ จงหาช่วงของค่าของ $$ x^2 y - xy^2 -x^2-2xy-y^2+x+y$$ ข้อ 2. จงตอบคำถามต่อไปนี้ 2.1 กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่า $$\lim_{n \to \infty} (1+a^n)^\frac{1}{n} $$ 2.2 จงหาค่าของ $$ \int_{1}^{\sqrt{3}}\ \frac{1}{x^2} \log{\sqrt{1+x^2}} dx $$ ลองคิดกันดูนะครับ เผื่อจะได้หลายๆไอเดีย คณิตศาสตร์ที่สวยงามคือคณิตศาสตร์ที่มีวิธีคิดหลายวิธี
__________________
"So far as the theories of mathematics are about reality, they are not certain; so far as they are certain, they are not about reality" Albert Einstein https://www.facebook.com/SingaporeMathRam 07 ธันวาคม 2012 19:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: merge |
#2
|
||||
|
||||
โจทย์ถามว่าอะไรครับ??
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#3
|
||||
|
||||
ข้อ 2. ไม่ทราบว่าทำวิธีนี้ได้ป่ะครับ
สมมุติ$a> 1$ จะได้ว่าทุกจำนวนจริง $a,$ $a+\dfrac{1}{a^{n-1}}\ge\sqrt[n]{a^n+1}\ge a$ ดังนั้น $a=\lim_{n \rightarrow \infty} \Big(a+\dfrac{1}{a^{n-1}}\Big)\ge \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^n+1}\ge \lim_{n\rightarrow \infty}a=a$ ดังนั้น $\lim_{n\rightarrow \infty} (a^n+1)^{1/n}=a$ เมื่อ $a>1$ เเละถ้า $a\le 1$ ให้ $a=1/k$ เมื่อ $k\ge 1$จึงได้ทำนองเดียวกันว่า $\lim_{n\rightarrow \infty} (a^n+1)^{1/n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{(k^n+1)^{1/n}}{k}=\dfrac{\lim_{n\rightarrow \infty} (k^n+1)^{1/n}}{k}=1$ จึงได้ว่า $$\lim_{n\rightarrow \infty} (a^n+1)^{1/n}= \cases{a & , a>1 \cr 1 & , a\le 1} $$ ปล.ข้อ2.2ผมดูเฉลยไปเเล้ว 555+ เเละติดตามข้อสอบเข้า Kyodai อยู่นะครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir 10 ธันวาคม 2012 07:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 11 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#4
|
||||
|
||||
2.1ส่วนอันนี้ผมคิดเองไม่รู้ว่าถูกป่าว 555
$$\int \frac{1}{x^2}\log(x^2+1) dx=\frac{1}{x}\log(x^2+1)+2\int \frac{1}{x^2+1}dx-\int \frac{1}{x^2}\log(x^2+1) dx$$ ดังนั้น $$\int\frac{1}{x^2}\log(x^2+1) dx=\frac{1}{2}\Big(\frac{\log(x^2+1)}{x}+2\tan^{-1} x\Big)$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ถ้า $a_1,a_2,...,a_k>0$ แล้ว $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_k^n}=\max\{a_1,a_2,...,a_k\}$ สมมติโดยไม่เสียนัยทั่วไปว่า $a_k=\max\{a_1,a_2,...,a_k\}$ จะได้ว่า $a_k^n\leq a_1^n+a_2^n+\cdots+a_k^n\leq ka_k^n$ ดังนั้น $a_k\leq \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_k^n}\leq k^{1/n}a_k$ แต่ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}k^{1/n}=1$ จึงได้ว่า $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_k^n}=a_k$ โดย Sandwich Theorem
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
|||
|
|||
ข้อ 2.1 ถูกต้องเลยครับ เยี่ยมเลย เอาไว้เดี๋ยวจะลองเสนอวิธีของผมบ้างนะครับ ส่วนข้อ 1 ลองทำดูด้วยนะครับ จะได้มาดูวิธีคิดกัน
__________________
"So far as the theories of mathematics are about reality, they are not certain; so far as they are certain, they are not about reality" Albert Einstein https://www.facebook.com/SingaporeMathRam |
#7
|
|||
|
|||
เฉลยนะครับ
__________________
"So far as the theories of mathematics are about reality, they are not certain; so far as they are certain, they are not about reality" Albert Einstein https://www.facebook.com/SingaporeMathRam 21 ธันวาคม 2012 23:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ drwut เหตุผล: เพิ่มเติม |
|
|