ถามเรื่องแนวทางการศึกษาวิชา Analysis แขนงต่าง ๆ ครับ

[XPhysicsX]

สวัสดีครับ
ผมสงสัยเกี่ยวกับแขนงของวิชา Analysis ที่ list ไว้ข้างล่างนี้

Mathematical Analysis
Real Analysis
Complex Analysis
Applied Analysis
Functional Analysis
Numerical Analysis

เนื่องจากไม่มีความรู้เกี่ยวกับวิชา Analysis เลย
ขอถามเป็นข้อ ๆ เลยนะครับ
1. แขนงวิชาเหล่านี้แตกต่างกันอย่างไร และแต่ละวิชา มีจุดเด่นอย่างไรครับ
2. จะเริ่มศึกษาจากตรงไหนก่อนดีครับ (ถ้าแนะนำหนังสือด้วยจะดีมาก ขอเป็นภาษาอังกฤษครับ) โดยฐานความรู้ตั้งแต่ป.ตรีขึ้นไปครับ
3. ผมจะเรียนต่อ ไปทางแนว Lie Algebra + Diff Geometry ไม่ทราบว่าควรจะเน้นหนักในวิชา Analysis แนวไหนมากที่สุดครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ XPhysicsX

สวัสดีครับ
ผมสงสัยเกี่ยวกับแขนงของวิชา Analysis ที่ list ไว้ข้างล่างนี้

Mathematical Analysis
Real Analysis
Complex Analysis
Applied Analysis
Functional Analysis
Numerical Analysis

เนื่องจากไม่มีความรู้เกี่ยวกับวิชา Analysis เลย
ขอถามเป็นข้อ ๆ เลยนะครับ
1. แขนงวิชาเหล่านี้แตกต่างกันอย่างไร และแต่ละวิชา มีจุดเด่นอย่างไรครับ
2. จะเริ่มศึกษาจากตรงไหนก่อนดีครับ (ถ้าแนะนำหนังสือด้วยจะดีมาก ขอเป็นภาษาอังกฤษครับ) โดยฐานความรู้ตั้งแต่ป.ตรีขึ้นไปครับ
3. ผมจะเรียนต่อ ไปทางแนว Lie Algebra + Diff Geometry ไม่ทราบว่าควรจะเน้นหนักในวิชา Analysis แนวไหนมากที่สุดครับ

Mathematical Analysis กับ Real Analysis โดยทั่วไปเป็นวิชาเดียวกันครับ แต่บางที Real analysis

จะครอบคุลมเนื้อหากว้างกว่าไปจนถึง Measure theory ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับผู้เขียนหนังสือว่าจะเรียกแบบไหน

เนื้อหาโดยทั่วไปจะเป็นการวางนัยทั่วไปของวิชาแคลคูลัสที่เคยเรียนมาให้กระชับขึ้น

ขอบเขตของวิชาเป็นการศึกษาแคลคูลัสบนจำนวนจริง

Complex Analysis เป็นการศึกษาแคลคูลัสและพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน เนื้อหาส่วนใหญ่ต่อยอดมาจากสองตัวแรก

Applied Analysis ไม่รู้จักครับ คงเป็นพวก mathematical modelling มั้ง

Functional Analysis ศึกษาสองตัวแรกบน vector space ส่วนใหญ่จะเน้นการวิเคราะห์ Linear transformation

Numerical Analysis อันนี้ค่อนข้างต่างจากที่พูดมาทั้งหมด เป็นการศึกษาวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาต่างๆทางคณิตศาสตร์

เช่น การแก้สมการชนิดต่างๆ (เชิงเส้น พหุนาม สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ฯลฯ)

จะเน้นการหาคำตอบด้วยการใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ครับ

ควรศึกษาสองตัวแรกก่อน เพราะเป็นพื้นฐานของทั้งหมด ถ้าจะไปทาง Differential Geometry ควรปูพื้น Advanced Calculus ให้แน่น

เช่น อนุพันธ์ของฟังก์ชันหลายตัวแปร, vector calculus, line integral, surface integral

นอกจากนี้ยังต้องใช้ Linear algebra และ Topology อย่างหนักหน่วงครับ

[passer-by]

applied analysis เรียนเกี่ยวกับ theory ของสมการเชิงอนุพันธ์ ODE, PDE ครับ เช่น existence of solution , harmonic analysis , dynamic stability

[XPhysicsX]

ขอบคุณครับ

[kongp]

ตอนที่ผมศึกษาได้ติดตามความก้าวหน้าอยู่เรื่อยๆ พบว่าบางวิชามีความก้าวหน้าจนยากจะติดตามซึ่งบางอย่างเปลี่ยนไปตามยุคสมัย และทั้งเก่าเก็บแต่น่าสนใจเยอะแยะ วิธีศึกษายากจะบอกได้ชัด แต่คิดว่าวิธีที่ดีที่สุดคือการจดจำขั้นตอนต่างๆ ส่วนการทำความเข้าใจที่มาก็จะทำให้รำลึกได้ และหากได้ทดลองใช้ทฤษฏีจะทำให้ได้รับความซาบซึ้งอย่างยิ่ง

การพัฒนานั้นยากจนแทบเป็นไปไม่ได้ ต้องคำนึงถึงความเหมาะสมคู่ไปด้วย คนที่เรียนวิศวกรรมอาจจะมีโอกาศมองหามุมใหม่ๆ คนที่เรียนรู้ศิลปะก็เพิ่มทักษะความรู้เรื่องเส้นสาย และ สีสันที่เป้นผลมาจากวิชาทางมนุษย์ศาสตร์ เช่น จิตวิทยาศาสตร์ แต่ต่อจากนั่นดูท่าอาจจะมืดมนสำหรับหลายๆ คน

[Anarist]

คำแนะนำทั่วไปตาม #2
ไม่แน่ใจว่า Real Analysis เล่มไหนจะแนะนำให้อ่านดี ผมก็รู้จักแค่ไม่กี่เล่ม
แต่ถ้าเป็น Advanced Cal โดยเริ่มๆเป็น Diff Geo. ก็แนะนำ Calculus on Manifolds ของ Spivak นะครับ

จริงๆ Lie Algebra มันก็เรียนก่อนโดยไม่ผ่าน analysis ได้ เน้นเป็น Algebra + Representation Theory อย่างเดียว
แต่ถ้ารู้ Diff Geo ก็จะทำให้เข้าใจที่มาที่ไปของนิยามและเอกลักษณ์ต่างๆ
เพราะ Lie Algebra มันก็มาจาก Vector Field บน Lie Group นั่นเอง

[kongp]

เราศึกษาวิชาพวกนี้ ต้องเอาไปใช้ถึงสนุกและคุ้มค่ากับเวลาที่เสียไป แต่ละท่านคงอายุไม่ใช่น้อย ฝรั่งที่ค้นคิดและร่างแบบแผนการศึกษาเก่งจริงๆ แทบจะเป็นพระเจ้าได้เลย ใช้อุดมคติ และค้นคิดเป็นแบบแผนที่สมบูรณ์ สามารถต่อยอดใช้ได้หลากหลาย สมัยก่อนโบราญลูกศิษฐ์คงหนีย้ายไปสำนักอื่นซะก่อนจบ เพราะดูท่าเห็นผลยาก อาจารย์ไทยบางท่านสอนแต่มัธยม จนชั่วชีวิต โดยไม่เบื่อแม้ใช้เวลาหลายปีกว่าจะรู้ครบ

ท่านต่างๆ คิดว่าไงครับ คณิตศาสตร์นี้เป็นศาสตร์ที่น่าสะพึงกลัวหรือไม่ ?

[kongp]

นึกถึงเวลาทำข้อสอบแล้วสยิวไม่ใช่เล่น ! พลิกรูปไปมาได้วิธีใหม่ๆ บางที เน้นเบสิคได้ความรู้ครบ ระดับมหาลัยก็จะมี องค์ทั้งตรีและโท

เป็นอาจารย์ดูจะดีที่สุด คิดว่านะครับ

[gools]

For the beginner, I would recommend Abbott's Understanding Analysis.

For more heavy stuff, you might want to take a look at Rudin's Principles of Mathematical Analysis. It has a chapter on differential geometry as well.