|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ฟังก์ชันเลขคณิต เกี่ยวกับ หรม. กำลังสอง
ให้ $A$ คือ Complete Residue System modulo $n$ ที่เป็นบวกน้อยสุด
นิยาม $\beta (n)=$ จำนวนของคู่อันดับ $(a,b) \in A^2$ ซึ่ง $(n,a^2+b^2)=1$ อยากทราบว่าฟังก์ชันนี้จะสามารถหารูปทั่วไปได้หรือเปล่าครับ ข้องใจมานานแล้วแต่ก็ยังคิดไม่ออก ได้แค่ว่า สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ $p$, $$\beta (p)= \cases{(p-1)^2 & , p \equiv 1 \pmod{4} \cr p^2-1 & , p \equiv 3 \pmod{4}} $$ และก็ขยายไปเป็น perfect power ของจำนวนเฉพาะคือ $$\beta (p^a)= \cases{2^{2a-1} & , p=2 \cr p^{2a-2}(p-1)^2 & , p \equiv 1 \pmod{4} \cr p^{2a-2}(p^2-1) & , p \equiv 3 \pmod{4}} $$ นอกจากกรณีนี้แล้วก็ยังไปไม่ถูกเลย
__________________
keep your way.
18 พฤษภาคม 2012 00:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine |
#2
|
|||
|
|||
ไม่รู้ตอบตอนนี้จะสายเกินไปรึเปล่านะเจ้าคะ แต่น่าจะได้คำตอบสำหรับกรณีเต็มแล้ว เราแสดงได้ว่า $(m,n)=1$ แล้ว
$$\beta(mn)=\beta(m)\beta(n)$$ ที่เหลือก็อาศัยผลลัพธ์ที่แสดงไว้แล้วของ $\beta(p^a)$ ในกรณีต่างๆ มาคูณกันก็เสร็จเจ้าค่ะ
__________________
Behind every beautiful proof lies a mountain of trash-turned calculation notes. ไปเยี่ยมกันได้ที่ต่างๆ ต่อไปนี้นะเจ้าคะ blog ดนตรีโดจิน: http://aiko-no-heya.exteen.com "กลุ่มศึกษาดนตรีโดจิน": http://www.facebook.com/doujinmusiclife "เส้นทางสู่โตได (วิชาเลข)": http://www.facebook.com/roadtotodai 29 มิถุนายน 2012 10:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Ai-Ko เหตุผล: ผลลัพธ์ก่อนหน้านผิด |
#3
|
||||
|
||||
ถ้าไม่รบกวนช่วยแสดงที่เป็นฟังก์ชันแยกคูณหน่อยครับ
ตอนแรกก็คาดไว้แล้วแหละว่าต้องแยกคูณ แต่ยังคิดไม่ออกเลยครับ
__________________
keep your way.
|
#4
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
แล้วจะได้ว่า $(mn,a^2+b^2)=1$ โดยที่ $a\equiv a_m\pmod m, a\equiv a_n\pmod n, b\equiv b_m\pmod m, b\equiv b_n\pmod n$ |
#5
|
||||
|
||||
ตอนนี้แก้ได้แล้วครับ ขอบคุณมากครับ
จริงๆมันขยายเป็นฟังก์ชันพหุนามใดๆเลยก็ได้ครับ ซึ่งครอบคลุม $a^2+b^2$ อยู่แล้ว
__________________
keep your way.
|
|
|