|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ค่าต่ำสุดของสมการส่วนกลับไดโอฯ
ให้ $x,y,z$ เป็ฯขจำนวนเต็มบวกที่ $x>y>z$ โดยที่ $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2}$
จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2+y^2+z^2$ ที่ผมคิดไว้ ถ้า $(x,y,z)=(a,b,c)$ เป็นคำตอบของสมการแล้ว $(ak,bk,ck)$ เป็นคำตอบของสมการด้วย ต้องเลือกให้ $(a,b,c)$ ที่เป็นคำตอบมีค่าน้อยที่สุด คำตอบหนึ่งของสมการคือ $(x,y,z)=(\sqrt{\frac{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}{2mn}},\sqrt{\frac{2mn(m^2+n^2)}{m^2-n^2}},\sqrt{\frac{2mn(m^2-n^2)}{m^2+n^2}})$ แต่ $x,y$ สลับที่กันได้ จะได้อีกคำตอบคือ $(x,y,z)=(\sqrt{\frac{2mn(m^2+n^2)}{m^2-n^2}},\sqrt{\frac{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}{2mn}},\sqrt{\frac{2mn(m^2-n^2)}{m^2+n^2}})$ เลือกคู่อันดับที่ $x>y>z$ และเลือกให้ $m>n$ ที่ทำให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ $(x,y,z)$ สอดคล้องสมการโจทย์ แต่โจทย์ถามหา $x^2+y^2+z^2$ ที่มีค่าน้อยที่สุด เลือกให้ $x^2+y^2+z^2$ มีค่าต่ำสุดที่สอดคล้องสมการ $(zx)^2+(yz)^2=(xy)^2$ ตอบอะไรผมก็ไม่รู้เหมือนกัน ได้ว่า $(x,y,z)=(20,15,12)$ เป็นคำตอบก็จริง แต่ไม่รู้ว่าเป็นค่าที่ทำให้ $x^2+y^2+z^2$ ต่ำสุดจริงหรือเปล่า.......
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#2
|
||||
|
||||
ถูกทางแล้วล่ะครับ จาก $(zx)^2+(yz)^2=(xy)^2$
มันต้องมาจาก Pythagorean triple นั่นคือ $(zy , zx, xy) = (d (m^2 - n^2 ), d(2mn), d(m^2+n^2))$ โดย $m,n$ coprime และ $m + n$ odd แล้วก็แก้ต่อได้ว่า $ (x^2,y^2,z^2) = (d \frac{2mn(m^2+n^2)}{m^2-n^2},d \frac{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}{2mn},d \frac{2mn(m^2-n^2)}{m^2+n^2} )$ สังเกตุว่า $m^2 - n^2 , 2mn, m^2+n^2$ มัน pairwise coprime ดังนั้น $(m^2 - n^2)(2mn)( m^2+n^2) $ ต้องหาร $d$ ลงตัว คำตอบทั่วไปจึงอยู่ในรูป $(x,y,z) = (k (2mn)(m^2 + n^2) , k(m^2-n^2)(m^2+n^2), k(2mn)(m^2-n^2))$ ซึ่งน้อยสุดที่ $k=1$ และ $(m,n) = (2,1)$ หรือมาจาก $3,4,5$ นั่นเอง |
|
|