#1
|
||||
|
||||
อสมการค่าย1
a,b,c,d>0 prove
$$ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}} \geqslant \sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}$$ |
#2
|
||||
|
||||
เหมือนมีคนลงเเล้วอ่ะครับ
กำหนดฟังก็ชัน $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=x^4-px^3+qx^2-rx+s$ $f '(x)=4x^3-3px^2+2qx-r=(x-k)(x-m)(x-n)$ ดังนั้น $$\frac{3p}{4}=k+m+n\ge 3\sqrt[3]{kmn}=3\sqrt[3]{\frac{r}{4}}$$ ซึ่งเหลือเพียงเเสดงว่า $\sqrt{\frac{p^2-2q}{4}}\ge p/4\leftrightarrow 3p^2-8q\ge 0$ ซึ่งจริงเพราะ $(a+b+c+d)^2\ge \dfrac{8}{3}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$
__________________
Vouloir c'est pouvoir 09 ตุลาคม 2012 22:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง เหตุผล: เเก้เเล้วครับ |
#3
|
||||
|
||||
แล้วมันทำอสมการตรงๆไม่ได้หรอครับ
|
#4
|
|||
|
|||
ผมคิดว่า $a^2+b^2+c^2+d^2\geq \dfrac{2}{3}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$ นะครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#5
|
||||
|
||||
เพิ่มอีกครับ ผมไม่เก่งด้านนี้
0<a,b,c<1,a+b+c=2 prove ผลคูณ cyc ของ $\frac{a}{1-a} >=8$ 09 ตุลาคม 2012 22:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ polsk133 |
#6
|
||||
|
||||
เปลี่ยนตัวแปร $1-a=x$ ครับ จบด้วย AM-GM
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#7
|
||||
|
||||
เปลี่ยนตัวแปรทั้งa,b,cตาม #6
ได้เป็น $ L.S. = (\frac{1-x}{x})(\frac{1-y}{y})(\frac{1-z}{z}) =\frac{1+xy+yz+zx-x-y-z-xyz}{xyz}$ $ a+b+c=(1-x)+(1-y)+(1-z)=2 ได้ x+y+z=1 $ $ L.S.=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-1 $ $ =(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(x+y+z)-1 $ เพราะว่า $x+y+z =1 $ By A.M.-H.M. ได้ว่า $ L.S.\geqslant 3^2-1=8 $
__________________
You may face some difficulties in your ways But its Good right ? |
#8
|
||||
|
||||
#4 เเก้เเล้วครับเบลอเอง
#6 แบบนี้สินะครับ จะได้ว่า $x+y+z=1$ เเละต้องการเเสดงว่า $$\frac{(1-x)(1-y)(1-z)}{xyz}\ge 8\leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\ge 8$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#9
|
||||
|
||||
เย้ขอบคุณครับ ทำไมผมคิดไม่ออกนะ
|
#10
|
||||
|
||||
ผมทำแบบนี้ครับ มันจะได้
ก้อนนั้นหลังเปลี่ยนตัวแปล $\frac{(x+y)(x+z)(z+y)}{xyz}$ Am GM ตัวในวงเล็บได้เลย ทำได้ข้อแรก(โดยมีhint) |
#11
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับ
ตอนสอบจริงมองไม่เคยออก 555+
__________________
You may face some difficulties in your ways But its Good right ? |
#12
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$a^3+b^3+c^3+d^3 \geq abc+abd+acd+bcd$ $ab^2+bc^2+ca^2 \geq 3 abc$ ที่เหลือก็ทำเหมือนกัน แล้วก็เอามาบวกกันครับ ก็เอา lemma ที่ได้ไปแทนครับ ก็จะได้ $$\dfrac{a+b+c+d}{4} \geq \sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}$$ มันยังคงเหลือที่เราต้องพิสูจน์ว่า $$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}} \geq \dfrac{a+b+c+d}{4}$$ ซึ่งเป็นจริงตามอสมการโคชี |
#13
|
||||
|
||||
อยู่ในห้องสอบผมจะได้ขนาดนี้ไหมเนี่ย ตั้งหลายstep
|
|
|