โจทย์ เรื่อง ลำดับ

[truetaems]

ถ้า $a_n$ เป็นลำดับที่มี $a_2 - a_1 =2$ และ $a_{n+2} - a_{n+1} = 3(a_{n+1} - a_n)$ $;$ $n\geqslant 1$
แล้วค่าของ $a_5 - a_1$ มีค่าเท่าใด

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ truetaems

ถ้า $a_n$ เป็นลำดับที่มี $a_2 - a_1 =2$ และ $a_{n+2} - a_{n+1} = 3(a_{n+1} - a_n)$ $;$ $n\geqslant 1$
แล้วค่าของ $a_5 - a_1$ มีค่าเท่าใด

ให้ $b_{n} = a_{n+1} - a_{n}$ เมื่อ $n \ge 1$
ดังนั้น $b_1 = a_2-a_1 = 2$

และจากสมการที่ให้มาจะได้ว่า
$b_{n+1} = 3b_{n}$ ซึ่งเป็นลำดับเรขาคณิต

สิ่งที่โจทย์ต้องการคือ $a_5 -a_1 = (a_5-a_4) + (a_4-a_3)+(a_3-a_2)+(a_2-a_1) = b_4+b_3+b_2+b_1 = S_4 = \frac{b_1(3^4-1)}{4-1}$

[truetaems]

พอดีผมยังไม่ได้เรียนลำดับเรขาคณิต มีวิธีคิดอื่นไหมครับ??

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ truetaems

พอดีผมยังไม่ได้เรียนลำดับเรขาคณิต มีวิธีคิดอื่นไหมครับ??

งั้นก็แทนค่าหาทีละตัวครับ เรารู้ $b_1$ ดังนั้นจากความสัมพันธ์เวียนเกิด $b_{n+1} = 3b_n$ ก็จะหาค่า $b_2, b_3, b_4$ ได้ แล้วเอามาบวกกันทีละตัว ที่ผมเขียนไว้ว่าเป็นลำดับเรขาคณิตนั้น เพื่อต้องการให้หัดมองความสัมพันธ์เวียนเกิดเป็นเท่านั้น หรือไม่ก็ถ้าโจทย์ถามว่า $a_{2555-1}$ หรือ $a_{2555}-a_{2012}$ อะไรทำนองนี้ จะได้หาได้ไวกว่าคิดทีละตัว

[Jade1209]

จาก $a_2-a_1=2$
$a_3-a_2=6$
$a_4-a_3=18$
$a_5-a_4=54$
ทุกสมการบวกกัน ได้ $a_5-a_1=80$

[truetaems]

ขอบคุณครับ