พิสูจน์ความน่าจะเป็นและAnalysis Geometry

[~ToucHUp~]

1.จงพิสูจน์ว่าจุดตัดที่มากที่สุดของเส้นตรง m เส้นกับวงกลม n วงมีจำนวน
$\binom{m}{2}+2\binom{n}{2}+2\binom{m}{1}\binom{n}{1}$ จุด

2.จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจาก A ไป B ซึ่ง Domain=a และ Range=b มี
$\sum_{n = 0}^{b}(-1)^n\binom{b}{n}(b-n)^a$

3.กำหนดให้ $f_1(x)=\frac{-x}{2}+\frac{3}{2}$ เมื่อ $x\leqslant 1$ และ $f_2=3x-2$ เมื่อ $x\geqslant 1$ ถ้า $P(a,b)$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมมีรัศมียาว $\frac{7}{\sqrt{5} }$ หน่วยและสัมผัสกราฟของ $f_1$ และ $f_2$ แล้ว $a+b$ มีค่าเท่าใด

[Thgx0312555]

1.
เส้นตรง $m$ เส้นตัดกันได้มากที่สุด $\displaystyle \binom{m}{2} $ จุด

วงกลม $2$ วงตัดกันได้มากที่สุด $2 $ จุด
วงกลม $n$ วงตัดกันได้มากที่สุด $\displaystyle 2\binom{n}{2} $ จุด

เส้นตรง $1$ เส้นตัดวงกลม $1$ วงได้มากที่สุด $2 $ จุด
เส้นตรง $m$ เส้นตัดวงกลม $n$ วงได้มากที่สุด $\displaystyle 2\binom{m}{1}\binom{n}{1} $

ดังนั้น จุดตัดที่มากที่สุดของเส้นตรง m เส้นกับวงกลม n วงมีจำนวน $\displaystyle \binom{m}{2} +2\binom{n}{2} +2\binom{m}{1}\binom{n}{1} $ จุด

[Thgx0312555]

2. ใช้เอกลักษณ์นี้
$\displaystyle n(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = \sum_{1 \le i_1 \le n}n(A_{i_1}) - \sum_{1 \le i_1 < i_2 \le n}n(A_{i_1} \cap A_{i_2})+ \sum_{1 \le i_1 < i_2 < i_3 \le n}n(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap A_{i_3})- \cdots +(-1)^nn(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n)$

เช่น $n = 3$
$\displaystyle n(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = n(A_1)+n(A_2)+n(A_3)-n(A_1 \cap A_2)-n(A_2 \cap A_3) - n(A_3 \cap A_1) + n(A_1 \cap A_2 \cap A_3)$

let $A = ${$x_1,x_2,...,x_a$},$ B = ${$y_1,y_2,...,y_b$}
ื
ให้ $U = ${$f: A \rightarrow B$}
ให้้้้้้้ $C_i = ${$f:A \rightarrow B \ | \ \forall (p,q) \in f, \ q \not= y_i$}
กล่าวคือ $C_i$ แทนเซตของฟังก์ชันซึ่งไม่มีสมาชิกในโดเมนใดชี้ไปที่ i

$C_1 \cup C_2 \cup ... \cup C_b$ เป็นเซตของฟังก์ชันซึ่งมีบางตัวซึ่งไม่มีตัวใดในโดเมนชี้ไปที่
นั่นคือ
$n(f:A \rightarrow B, f \ $เป็นฟังก์ชัน onto$) = n(U)-n(C_1 \cup C_2 \cup ... \cup C_b)$

พิจารณา $\displaystyle \sum_{1 \le i_1 < i_2 <...<i_n\le b}n(C_1 \cap C_2 \cap \cdots \cap C_n)$
เลือกตัว n ตัวจาก $1,2,3,...,b$ ได้ $\displaystyle \binom{b}{n}$ วิธี นำมาจัดเรียงใส่ $i_1,i_2,...,i_n$ ได้ 1 วิธี

f={($x_1$,__),($x_2$,__),...,($x_a$,__)}
แต่ละที่ใส่ได้ b-n วิธี (ห้ามใส่ $y_{i_1},y_{i_2},...,y_{i_n}$)
มี a ตัว
ดังนั้นสำหรับ $i_1,i_2,...,i_n$ แต่ละชุดมีฟังก์ชัน $(b-n)^a$ แบบ
แต่มี $\displaystyle \binom{b}{n}$ ชุด
ดังนันมี $\displaystyle \binom{b}{n}(b-n)^a$ แบบ
แต่ $\displaystyle n(C_1 \cup C_2 \cup ... \cup C_b) = \sum_{1 \le i_1 \le b}n(C_{i_1}) - \sum_{1 \le i_1 < i_2 \le b}n(C_{i_1} \cap C_{i_2})+ \sum_{1 \le i_1 < i_2 < i_3 \le b}n(C_{i_1}\cap C_{i_2} \cap C_{i_3})- \cdots +(-1)^bn(C_1 \cap C_2 \cap \cdots \cap C_b)$

$\displaystyle = \binom{b}{1}(b-1)^a - \binom{b}{2}(b-2)^a+\cdots+(-1)^{b-1}(b-b)^a$

ดังนั้น
$n(f:A \rightarrow B, f \ $เป็นฟังก์ชัน onto$) = n(U)-n(C_1 \cup C_2 \cup ... \cup C_b)$
$\displaystyle = b^a - \binom{b}{1}(b-1)^a + \binom{b}{2}(b-2)^a+\cdots+(-1)^b(b-b)^a$
$\displaystyle = \binom{b}{0}b^a - \binom{b}{1}(b-1)^a + \binom{b}{2}(b-2)^a+\cdots+(-1)^b\binom{b}{b}(b-b)^a$
$\displaystyle = \sum_{n=0}^b (-1)^b\binom{b}{n}(b-n)^a$

[~ToucHUp~]

ขอบคุณครับ

รบกวนข้อ3 ด้วยครับ

[Thgx0312555]

วาดกราฟดูจะเห็นว่า จุดศูนย์กลางวงกลมอยู่เหนือ เส้นตรงทั้งสองเส้นกล่าวคืิอ
$b > 3a-2$ และ $2b > -a+3$
นั่นคือ
$3a-b-2 < 0$ และ $a+2b-3>0$

เขียนสมการอยู่ในรูปมาตรฐาน

จากจุดศูนย์กลางวงกลมอยู่ห่างจากเส้นตรงเท่ากับรัศมี

$\dfrac{|3a-b-2|}{\sqrt{3^2+1^2}} = \dfrac{7}{\sqrt{5}}$
$|3a-b-2| = 7 \sqrt{2}$

แต่ $3a-b-2 < 0$
$3a-b-2 = -7\sqrt{2}$ ---(1)

$\dfrac{|a+2b-3|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \dfrac{7}{\sqrt{5}}$
$|a+2b-3| = 7$

แต่ $a+2b-3>0$
$a+2b-3 = 7$ ---(2)

แก้สมการ จะได้ $a = -2\sqrt{2}+2, b = 4+\sqrt{2}$
$a+b = 6-\sqrt{2}$

[~ToucHUp~]

แล้วที่โจทย์บอกว่า $x\leqslant 1$ แล้วก็ $x\geqslant 1$ มันมีผลอะไรหรือเปล่าครับ

[Thgx0312555]

มีผลต่อตอนวาดกราฟครับ

[~ToucHUp~]

ขอบคุณครับ