รบกวนช่วยพิสูจน์หน่อยครับ -*-

[เรือจ้าง]

ข้อ 1. Show that if S1 and S2 are subsets of a vector space V such that S1 $\subseteq$ S2 then < S1 > $\subseteq$ < S2 >. In particular, if S1 $\subseteq$ S2 and < S1 > = V then deduce that < S2 > = V.



ข้อ 2. Show that if S1,S2 $\subseteq$ V where V is a vector space over F , then < S1 $\cup$ S2 > = < S1 > + < S2 > and < S1 $\cap$ S2 > $\subseteq$ < S1> $\cap$ < S2>.

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เรือจ้าง

ข้อ 1. Show that if $S_1$ and $S_2$ are subsets of a vector space $V$ such that $S_1$ $\subseteq$ $S_2$ then $< S_1 >\subseteq < S_2 >$. In particular, if $S_1$ $\subseteq$ $S_2$ and $< S_1 > = V$ then deduce that $< S_2 > = V$.



ข้อ 2. Show that if $S_1,S_2\subseteq V$ where $V$ is a vector space over $F$ , then $< S_1 \cup S_2 > = < S_1 > + < S_2 >$ and $< S_1 \cap S_2 > \subseteq < S_1> \cap < S_2>$.

ข้อแรกก่อนนะครับ เราจะแสดงว่า $<S_{1}> \subseteq <S_{2}>$
ให้ $\overline{v} \in <S_{1}>$ นั่นคือเราจะได้ว่า
$$\overline{v}= \alpha_{1}x_{1} + \cdots +\alpha_{n}x_{n}$$
เมื่อ $\alpha_{i} \in F$ และ $x_{i} \in S_{1}$
ทำให้เราได้ว่า $x_{i} \in S_{2}$ (ทำไม?)
ดังนั้นเราจึงได้ว่า
$$\overline{v}= \alpha_{1}x_{1} + \cdots +\alpha_{n}x_{n}$$
เมื่อ $\alpha_{i} \in F$ และ $x_{i} \in S_{2}$
ดังนั้น $\overline{v} \in <S_{2}>$ จึงได้ตามต้องการ

ส่วนประโยคที่สองนั้น ทำในลักษณะเดียวกันครับ ลองทำดู