พิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณ

[WAP]

ช่วยพิสูจน์หน่อยนะคะ

ขอบคุณค่ะ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ WAP

ช่วยพิสูจน์หน่อยนะคะ

ขอบคุณค่ะ

ลองทำจากข้างขวาดูครับ

[กิตติ]

ทำจากซ้ายมือไปขวามือก่อน
$\sin^2\frac{A}{2}+\sin^2\frac{B}{2}+\sin^2\frac{C}{2} $
$=\left(\,\frac{1-\cos A}{2} \right) +\left(\,\frac{1-\cos B}{2}\right) +\left(\,\frac{1-\cos C}{2}\right) $
$=\frac{1}{2} \left(\,( 3-(\cos A+\cos B+\cos C)\right) $
$=\frac{1}{2} \left(\, 3-(\left(\,2\cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \right)-\cos C\right) $
$=\frac{1}{2} \left(\, 3-(\left(\,2\sin \frac{C}{2} (\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}+\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}) \right) -\cos C\right) $
$=\frac{1}{2} \left(\, 3-(\left(\,2\sin \frac{C}{2} \cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}+2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}) \right) -1+2\sin^2 \frac{C}{2}\right) $
$=\frac{1}{2} \left(\, 2-(\left(\,2\sin \frac{C}{2} \cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}+2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}) \right) +2\sin \frac{C}{2} \cos \frac{A+B}{2} \right) $
$=\frac{1}{2} \left(\, 2-(\left(\,2\sin \frac{C}{2} \cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}+2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}) \right) +2\sin \frac{C}{2}\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}-2\sin \frac{C}{2}\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2} \right) $
$=1-2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$

[กิตติ]

ทำจากขวามือไปซ้ายมือ
$=1-2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$
$=1-2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$
$=1-(\cos \frac{A-B}{2}-\cos \frac{A+B}{2})\sin \frac{C}{2}$
$=1-(\cos \frac{A-B}{2}\sin \frac{C}{2})+\sin^2 \frac{C}{2}$
$=1-(\cos \frac{A-B}{2}\cos \frac{A+B}{2})+\sin^2 \frac{C}{2}$
$=1-\frac{1}{2} (2\cos \frac{A-B}{2}\cos \frac{A+B}{2})+\sin^2 \frac{C}{2}$
$=1-\frac{1}{2} (\cos A+\cos B)+\sin^2 \frac{C}{2}$
$=1-\frac{1}{2} (1-2\sin^2 \frac{A}{2} +1-2\sin^2\frac{B}{2} )+\sin^2 \frac{C}{2}$
$=\sin^2 \frac{A}{2} +\sin^2\frac{B}{2}+\sin^2 \frac{C}{2}$