|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
จำนวนเชิงซ้อนครับ
ให้ Z1 , Z2 , Z3 ,Z4 ,Z5 เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ต่างกันและมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1
ถ้า Z1+Z2+Z3+Z4+Z5 = 0 จงหาส่วนจริงของ (Z1+Z2)/Z3 + (Z2+Z3)/Z4 + (Z3+Z4)/Z5 + (Z4+Z5)/Z1 + (Z5+Z1)/Z2 ใครคิดออกช่วยทีครับ |
#2
|
|||
|
|||
ให้ $z_1=a_1+b_1i$
$z_2=a_2+b_2i$ $z_3=a_3+b_3i$ $z_4=a_4+b_4i$ $z_5=a_5+b_5i$ จากโจทย์จะได้ $\left|z_k\right|=\sqrt{a_k^2+b_k^2}=1$ $\therefore a_k^2+b_k^2=1$ พิจารณา $\frac{z_1+z_2}{z_3}$ จะได้ $\frac{z_1+z_2}{z_3}=\frac{a_1+a_2+i(b_1+b_2)}{a_3+b_3i}$ $=\frac{[a_1+a_2+i(b_1+b_2)](a_3-b_3i)}{(a_3+b_3i)(a_3-b_3i)}$ $=[a_1+a_2+i(b_1+b_2)](a_3-b_3i)\,\,\,\,\,(\because a_3^2+b_3^2=1)$ $=a_1a_3+a_2a_3+b_1b_3+b_2b_3+i(a_3b_1+a_3b_2-a_1b_3a_2b_3)$ ซึ่งมีส่วนจริง $=a_1a_3+a_2a_3+b_1b_3+b_2b_3$ ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า $Re(\frac{z_2+z_3}{z_4})=a_2a_4+a_3a_4+b_2b_4+b_3b_4$ $Re(\frac{z_3+z_4}{z_5})=a_3a_5+a_4a_5+b_3b_5+b_4b_5$ $Re(\frac{z_4+z_5}{z_1})=a_4a_1+a_5a_1+b_4b_1+b_5b_1$ $Re(\frac{z_5+z_1}{z_2})=a_5a_2+a_1a_2+b_5b_2+b_1b_2$ $\therefore Re(\frac{z_1+z_2}{z_3}+\frac{z_2+z_3}{z_4}+\frac{z_3+z_4}{z_5}+ \frac{z_4+z_5}{z_1}+\frac{z_5+z_1}{z_2})$ $=a_1a_3+a_2a_4+a_3a_5+a_4a_1+a_5a_2+a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_5+a_5a_1$ $\,\,\,\,\,+b_1b_3+b_2b_4+b_3b_5+b_4b_1+b_5b_2+b_1b_2+b_2b_3+b_3b_4+b_4b_5+b_5b_1$ $=\frac{(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)^2+(b_1+b_2+b_3+b_4+b_5)^2}{2}$ แต่จากโจทย์ $z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=0$ $\therefore a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0 และ b_1+b_2+b_3+b_4+b_5=0$ $\therefore \frac{(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)^2+(b_1+b_2+b_3+b_4+b_5)^2}{2}=0$ $\therefore Re(\frac{z_1+z_2}{z_3}+\frac{z_2+z_3}{z_4}+\frac{z_3+z_4}{z_5}+ \frac{z_4+z_5}{z_1}+\frac{z_5+z_1}{z_2})=0$ พอได้ไหมครับ 21 กุมภาพันธ์ 2012 14:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: ใช้ปุ่มแก้ไข ถ้าต้องการตอบติด ๆ กันในเวลาไม่ห่างกันมากครับ. |
#3
|
||||
|
||||
ปัญหาน่าจะอยู่ที่สมการนี้ สองค่านี้เท่ากันหรือครับ.
|
#4
|
|||
|
|||
ขอบคุณครับ พี่ๆทั้งสองคน
|
#5
|
||||
|
||||
ข้อนี้เป็นข้อสอบทุน king ปี49 คำตอบคือ -5/2 ครับ
แนะนำ : จำนวนเชิงซ้อนที่มีสมบัติดังกล่าว เช่นรากที่5ของ1 เป็นต้น |
#6
|
||||
|
||||
ข้อนี้ต้องมองให้เห็นถึงสมบัติพื้นฐานครับ ที่ว่า $z+\bar{z}=2 Re(z)$
จากที่ $|z_i|=1$ ได้ว่า $z_i^{-1}=\bar{z_i}$ กำหนดให้ $$z=\sum_{cyc}\, \bar{z_3}(z_1+z_2)=\sum_{cyc} z_1(\bar{z_2}+\bar{z_3})$$ $$\bar{z}=\sum_{cyc}\, z_3(\bar{z_1}+\bar{z_2})=\sum_{cyc} z_1(\bar{z_4}+\bar{z_5})$$ $$\therefore 2Re(z)=\sum_{cyc} z_1 (\bar{z_2}+\bar{z_3}+\bar{z_4}+\bar{z_5})$$ $$2Re(z)=\sum_{cyc} z_1 (-\bar{z_1})$$ $$2Re(z)=- \sum_{cyc} |z_1|^2$$ $$2Re(z)=-5$$ $$Re(z)=-\frac{5}{2}$$
__________________
keep your way.
|
#7
|
|||
|
|||
ขอบคุณ คุณPP_nine ที่เปิดมุมมองใหม่ให้กับผม คิดไม่ถึงอ่ะคับ
ตอนแรกก้อคิดแบบkrit แต่คิดไม่สุดเพราะคิดว่าไม่น่าจะได้คำตอบ วันหลังคงใช้ความพยายามให้มากกว่านี้ ขอบคุณทุกๆคนนะคับ 22 กุมภาพันธ์ 2012 12:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิมจิ |
|
|