พิสูจน์อสมการนิดนึงครับ

[tonklaZolo]

จงพิสูจน์ว่า ถ้า $x,y>0 $ แล้ว $$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geqslant \frac{(a+b)^2}{x+y}$$
โดยที่ถ้า $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$
จะทำให้อสมการข้างต้นกลายเป็นสมการ

พิสูจน์ให้หน่อยครับ

[Cachy-Schwarz]

ลองดู

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=12479

ครับ

[polsk133]

โคชี่ เลยครับ

[วะฮ่ะฮ่า03]

$(\frac{a^2}{x} -\frac{a^2}{x+y} )$
+$(\frac{b^2}{y} -\frac{b^2}{x+y} )\geqslant \frac{2ab}{x+y} $

$\frac{a^2y}{x} +\frac{b^2x}{y}\geqslant 2ab$
$a^2y^2+b^2x^2\geqslant 2aybx$
จาก $bx=ay$
$2b^2x^2\geqslant 2b^2x^2 $(ทำกลับ)

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tonklaZolo

จงพิสูจน์ว่า ถ้า $x,y>0 $ แล้ว $$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{(a+b)^2}{x+y}$$

จริงๆ โคชี่ทีเดียวก็ออกเเล้วครับ เเต่ถ้าลองกระจาย
$$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{(a+b)^2}{x+y}\leftrightarrow a^2y^2+b^2x^2\ge 2abxy\leftrightarrow (ay-bx)^2\ge 0$$

[tonklaZolo]

ในที่สุดก็พิสูจน์โคชี ได้แล้ว ปล.ก๊อปหนังสือมา
$$\frac{{a_1}^2}{b_1}+\frac{{a_2}^2}{b_2}+...+\frac{{a_n}^2}{b_n}\geqslant \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{(b_1+b_2+...b_n)}$$
$$\frac{{x_1}^2{y_1}^2}{{y_1}^2}+\frac{{x_2}^2{y_2}^2}{{y_2}^2}+...+\frac{{x_n}^2{y_n}^2}{{y_n}^2}\geqslant \frac{({x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+...+{x_n}{y_n})^2}{({y_1}^2+{y_2}^2+...+{y_n}^2)}$$
$$({x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2)({y_1}^2+{y_2}^2+...+{y_n}^2)\geqslant ({x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+...+{x_n}{y_n})^2$$