ขอแนวทางการทำโจทย์ข้อนี้ครับ

[simpleman]

ให้หาอนุกรมเลขคณิตน่ะครับ

2 4 7 13 28 70 ...

นึกไม่ออกจริง ๆ ครับ ขอแนวทางหน่อยครับ

กำลังหัดทำโจทย์อยู่

ขอบคุณครับ

[gon]

หาลำดับหรือหาอนุกรมครับ? จะหาอนุกรมต้องหาลำดับออกมาก่อนนะครับ. ถ้าหาลำดับใบ้ให้ว่า เมื่อนำพจน์ที่อยู่ติดกันมาลบกันไปเรื่อย ๆ จะได้ลำดับเรขาคณิตในที่สุด แสดงว่าลำดับดังกล่าวจะเกิดจาก ลำดับพหุนาม + ลำดับเรขาคณิต


2, 3, 6, 15, 42
1 3 9 27

[gon]

มาต่อ พิจารณาลำดับ :
$2, \quad4,\quad 7.\quad 13,\quad 28,\quad 70,...$ เมื่อนำพจน์ที่ติดกันมาลบกันจะได้ลำดับ
$\quad 2,\quad 3,\quad 6,\quad 15,\quad 42, ...\quad$เมื่อนำพจน์ที่ติดกันมาลบกันจะได้ลำดับ
$\quad \quad1, \quad3, \quad 9, \quad , 27, ...$

จะเห็นว่าลบกัน 2 ครั้งจะได้ลำดับเรขาคณิิต แสดงว่าจะเกิดจากลำดับพหุนามกำลังหนึ่ง (หรือลำดับเลขคณิต) รวมกับ ลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วม r = 3

สมมติให้
$a_n = A + Bn + C(3^{n-1})$
$a_1 = 2 = A + B + C \quad \cdots(1)$
$a_2 = 4 = A + 2B + 3C \quad \cdots(2)$
$a_3 = 7 = A + 3B + 9C \quad \cdots(3)$

จากนั้นให้แก้ระบบสมการ 3 สมการ หาค่าของ A, B, C ออกมาจะได้ว่า $a_n = \frac{6n + 1 + 3^{n-1}}{4}\quad n = 1, 2, 3, ...$

หรือจะใช้สูตร
$a_n = a_1 + {n-1 \choose 1}d_1 + {n-1 \choose 2}d_2 + \cdots + {n-1 \choose k-1}d_{k-1} $
$+ [ \frac{r^{n-1} - 1}{ (r-1)^k} - {n-1 \choose 1}\frac{1}{(r-1)^{k-1}} - {n-1 \choose 2}\frac{1}{(r-1)^{k-2}} - \cdots - {n-1 \choose k-1}\frac{1}{(r-1)} ]d_k$

เมื่อ
k แทน จำนวนครั้งที่ลบแล้วได้ลำดับเรขาคณิตครั้งแรก ในที่นี้ k = 2
r แทน อัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตที่ได้จากการลบ
$d_k$ แทน พจน์แรกของลำดับในแต่ละชุด (ในที่นี้ $d_1 =2 , d_2 = 1) $

ดังนั้นถ้าแทนสูตรจะได้ $a_n = 2 + {n-1 \choose 1}2 + [ \frac{3^{n-1}-1}{2^2} - {n-1 \choose 1}\frac{1}{2^1} ](1) = \frac{6n + 1 + 3^{n-1}}{4}$ เช่นกัน