|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ช่วยชี้แนะอสมการข้อนี้หน่อยครับ
กำหนดให้ a,b,c >0
พิสูจน์ว่า$ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq\frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a} $ |
#2
|
||||
|
||||
ลองเข้าไปใน Google แล้ว Search ด้วยคำว่า sos schur ดูครับ หรือไม่ก็ที่นี่ http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=1465&page=4
ลองดูนะครับ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$ \Big(\dfrac{a}{b}-\dfrac{c+a}{c+b}+1\Big)+\Big(\dfrac{b}{c}-\dfrac{a+b}{a+c}+1\Big)+\Big(\dfrac{c}{a}-\dfrac{b+c}{b+a}+1\Big)\geq 3$ $\dfrac{b^2+ca}{b(b+c)}+\dfrac{c^2+ab}{c(c+a)}+\dfrac{a^2+bc}{a(a+b)}\geq 3$ โดย AM-GM เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)\geq abc(a+b)(b+c)(c+a)$ ซึ่งสมมูลกับ $\Big(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{b}\Big)\Big(\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{c}\Big)\Big(\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{a}\Big)\geq (a+b)(b+c)(c+a)$ แต่จากอสมการโคชี $\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{b}\geq \dfrac{(a+b)^2}{c+b}$ $\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{c}\geq \dfrac{(b+c)^2}{a+c}$ $\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{a}\geq \dfrac{(c+a)^2}{b+a}$ คูณกันทั้งหมดจะได้อสมการที่ต้องการ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
||||
|
||||
พี่ nooonuii ที่บอกว่าสมมูลมันหมายถึงอย่างไงหรอครับแล้วเราจะรู้ได้ไงว่าอสมการไหนสมมูลกับอสมการไหน
ช่วยอธิบายทีครับ |
#5
|
|||
|
|||
อสมการที่สมมูลกันคืออสมการที่สามารถจัดรูปโดยใช้การบวก ลบ คูณ หาร ย้ายข้างอสมการ ไปมาหากันได้ครับ (นิยามคร่าวๆแบบไม่เป็นทางการ)
เช่น $a+b\geq c+d$ จะสมมูลกับ $a-c\geq d-b$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
||||
|
||||
พี่ nooonuii ตรงมีมาอย่างไงหรอครับ(พอดีผมยังไม่เก่ง)
__________________
Great thing have small beginning.
สิ่งที่ใหญ่โตทั้งหลาย เริ่มมาจากสิ่งเล็ก ๆ |
#7
|
||||
|
||||
ผมอธิบายเเทนนะ
มาจาก อสมการของ $Cauchy$ ใน $Engel Form$ อ่ะครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#8
|
||||
|
||||
อสมการของ $Cauchy$ ใน $Engel Form$ คืออะไรหรอ
__________________
Great thing have small beginning.
สิ่งที่ใหญ่โตทั้งหลาย เริ่มมาจากสิ่งเล็ก ๆ |
#9
|
||||
|
||||
ก็คือ อสมการของโคชีไงครับ เเต่อยู่ในอีกเเบบฟอร์มนึง
กล่าวไว้ว่า เมื่อ $a_1,a_2,...a_n, b_1,b_2...,b_n \in R^+$ จะได้ว่า $$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n} \geqslant \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir 16 เมษายน 2011 10:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#10
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
\[\ge 3\sqrt[3]{\frac{\prod_{cyc}\frac{(b+a)^2}{c+a}}{\prod_{cyc}(b+c)}}+\sum_{cyc}\frac{c+a}{c+b}-3=\sum_{cyc}\frac{c+a}{c+b}\] |
|
|