|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
คำถามสำหรับ Mathcenter Contest Round 1/2010
ขอลงโจทย์เร็วกว่ากำหนดประมาณหนึ่งชั่วโมงนะครับ
ก่อนอื่นผมขออภัยด้วยครับ หากโจทย์คราวนี้อาจจะยากหรือง่ายไม่เหมือนรอบก่อนๆหน้าครับ โจทย์ทั้งหมดเลือกจากตัวเลือกเท่าๆที่มีการเสนอมาแล้วครับ ผมจะประกาศโจทย์พิเศษอีกครั้งภายในวันศุกร์นี้ครับ (บังเอิญทำโจทย์ไม่ทันครับ ขออภัยด้วย) หากมีข้อสงสัยหรือสอบถามเกี่ยวกับโจทย์ สามารถถามได้ในกระทู้นี้จนถึง 22:30 น. วันศุกร์ที่ 29 มกราคม 2553 ครับ คะแนนเต็มสูงสุด 30 คะแนน โจทย์ทุกข้อ ข้อละ 5 คะแนน และเสนอโดยคุณ tatari/nightmare 1. ให้ $a,b,c\in\mathbb{N}$ จงพิสูจน์ว่าถ้ามีพหุนาม $P,Q,R\in\mathbb{C}[x]$ ซึ่งไม่มีตัวประกอบร่วมกันและสอดคล้องสมการ $$P^a+Q^b=R^c$$แล้ว $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}>1$ 2. กำหนด $k$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $k>1$ และ $0\leq d<9$ จงพิสูจน์ว่าจะมีจำนวนนับ $n$ ซึ่งเลขโดดในตำแหน่งที $k$(นับจากขวา) ของ $2^n$ คือ $d$ 3. กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่ $B$ วงกลมแนบในสามเหลี่ยมสัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่จุด $D,E,F$ ตามลำดับ ให้ $CF$ ตัดวงกลมแนบในที่จุด $P$ ถ้า $\angle APB=90^{\circ}$ จงหาค่าของ $\dfrac{CP+CD}{PF}$ 4. กำหนด $P$ เป็นระนาบ จงพิสูจน์ว่าไม่มีฟังก์ชัน $f :P\rightarrow P$ โดยที่สำหรับรูปสี่เหลี่ยมนูน $ABCD$ ใดๆ จุด $f(A),f(B),f(C),f(D)$ เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมเว้า 5. เซต $X$ ของจำนวนนับจะเรียกว่า "ดี" ถ้าสำหรับแต่ละคู่ $a,b\in X$ มีจำนวนเพียงตัวเดียวจาก $a+b,\mid a-b\mid$ เป็นสมาชิกของ $X$($a,b$ อาจเท่ากันได้) จงหาจำนวนเซตดีทั้งหมดที่มี $2008$ เป็นสมาชิก 6. จงหา $a\in\mathbb{N}$ ทุกตัวที่ทำให้มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง $g :\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ และฟังก์ชัน $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ที่ทำให้สำหรับทุก $x\in\mathbb{N}$ $$f(f(f(...f(x)))...)=g(x)+a$$ โดยที่มี $f$ ปรากฏทั้งหมด $2009$ ครั้ง คะแนนเต็มสูงสุด 14 คะแนน 1. (4 คะแนน) กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริงใดๆ จงหาค่าต่ำสุดของ $$\sqrt{x^2-70x+1234}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2-30y+666}$$ (เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow) 2. (5 คะแนน) กำหนด $n!=n(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)$ ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $$\frac{(n-1)!+n!+(n+1)!}{(n+1)!+(n+2)!-6n!}=\frac{2}{n}$$และให้ $f(x)=x^2-1$ และ $\tan \theta = \sqrt{\dfrac{f(n)+f(n+1)}{(f(n))^2+(f(n+1))^2}}$ โดย $0^{\circ} \leqslant \theta \leqslant 90^{\circ}$ จงหาค่าของ $\theta$ (เสนอโดยคุณ Ne[S]zA) 3. (5 คะแนน) กำหนดให้ $P\hat QR=90^{\circ}$ และ $PQ=QR_1=1$ และ $PR_{k-1}=QR_k$ สำหรับ $k=2,3,4,...,n$ ให้ $[\Delta PQR_n]$ แทนพื้นที่ของ $\Delta PQR_n$ $$A=\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{[\Delta PQR_{k-1}]+[\Delta PQR_k]}$$ จงหาค่าของ $\sin \theta$ เมื่อ $\tan \theta = \sqrt{\dfrac{A+2}{3}}$ (ตอบในรูปส่วนไม่ติดราก) (เสนอโดยคุณ Ne[S]zA) คะแนนเต็มสูงสุด 12 คะแนน 1. (4 คะแนน) ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $2555(3^x)-2012(3^y)=16959$ จงหาค่าของ $\sqrt{x^2-y^2}$ (เสนอโดยคุณ Ne[S]zA) 2. (4 คะแนน) จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ทั้งหมดที่เป็นคำตอบของสมการ $x^2+2x+y^2-y-xy-2=0$ ในระบบจำนวนเต็ม (เสนอโดยคุณ -SIL-) 3. (4 คะแนน) ให้ $$a_n=\frac{2552^n}{2552^{2n+1}-2552^{n+1}-2552^n+1}$$ จงแสดงว่า $a_1+a_2+a_3+....+a_{2552}<1$ (เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow) คะแนนเต็มสูงสุด 9 คะแนน 1. (2 คะแนน) จงหาค่าของ $$\frac{(1\times3\times6)+(2\times6\times12)+\cdots+(2010\times6030\times12060)}{(1\times2\times3)+(2\times4\times6)+\cdots+(201 0\times4020\times6030)}$$ (เสนอโดยคุณ เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง) 3. (3 คะแนน) มีนาฬิกาทราย 2 ชนิด คือ ชนิด 7 นาที และชนิด 13 นาที จงหาวิธีการบอกเวลา 3 นาทีจากการใช้นาฬิกาทรายทั้ง 2 นี้ (เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow) 3. (4 คะแนน) จงหาจำนวนนับ $n$ ที่มากกว่า 2222 ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้ $$\frac{n-2010}{2},\frac{n-2010}{3},\frac{n-2010}{4},\dots,\frac{n-2010}{2553}$$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำทุกจำนวน (เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#2
|
||||
|
||||
ข้อ 3 มัธยมปลาย
ให้หาผลรวมตั้งแต่ k = 2 ถึง n เหรอครับ - -" มันแปลกๆนะ
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~ T T ไม่เก่งซักที ทำไงดี |
#3
|
||||
|
||||
#2
ใช่ครับ เพราะเช็คจากแนวคิดและคำตอบที่ส่งมาเป็นเช่นนั้น แต่ถ้าทำแล้วปรากฎว่าได้คำตอบไม่สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่รู้กันโดยทั่วไปไม่ว่่าอะไรก็ตาม ก็ตอบมาได้เช่นกันครับ ถ้าถูกก็มีคะแนนเต็มให้เช่นกัน
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 26 มกราคม 2010 07:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#4
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
Mathcenter Contest คราวนี้ พิมพ์สัญญลักษณ์ถูกต้องเป๊ะๆ ยังทำไม่ได้ ไม่เห็นง่ายขึ้นเลย
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#5
|
||||
|
||||
#4
เอ่อ... แล้วผมพิมพ์ผิดตรงไหนหรือครับ... อีกอย่างผมว่านอกจากโจทย์โอลิมปิกแล้ว ทุกระดับโจทย์ไม่ได้ยากมากนะัครับ อีกอย่าง การส่งคำตอบ อาจส่งมาเป็นไฟล์ภาพแล้วมาแปะในกระทู้ของตัวเองก็ได้นะครับ เราไม่ได้จำกัดว่าต้องพิมพ์ตอบอย่างเดียว เพียงแต่พิมพ์ตอบแล้วมันอ่านง่ายแก้ง่ายกว่าเท่านั้นเองครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 26 มกราคม 2010 08:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#6
|
|||
|
|||
คุณnongtumไม่ได้พิมพ์ผิดตรงไหน
ผมแซวเล่นเท่านั้น ว่า แม้พิมพ์สัญญลักษณ์ถูกต้องเป๊ะๆ ก็ไม่ทำให้คำถามMathcenter Contestง่ายขึ้น
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#7
|
||||
|
||||
แหมๆ ขอบคุณที่ feedback กลับมาครับ ผมก็เดาๆไว้อยู่แหละว่า่ล้อเล่น...
แต่ระดับคุณ banker น่าจะตอบคำถามระดับม.ต้น กับป.ปลายรอบนี้ได้สบายๆแล้วล่ะครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#8
|
|||
|
|||
พี่คับ ข้อ 1,2,3 ทำไงอ่ะคับ บอกที !
ของประถมนะคับๆ 03 มิถุนายน 2011 21:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: double post+แก้เล็กน้อยโปรดใช้ปุ่มแก้ไข |
#9
|
||||
|
||||
โจทย์โอลิมปิกดูแล้วคุ้นๆ .... เล่นซะอย่างงี้เลยหรือ
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
กฎ กติกา มารยาท สำหรับ Mathcenter Contest รอบ 1/2010 | nongtum | Mathcenter Contest | 4 | 26 กุมภาพันธ์ 2010 21:11 |
|
|