#1
|
||||
|
||||
โจทย์พหุนามครับ
ให้ \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\) มีฟังก์ชันพหุนาม \(Q(x)\) กี่ฟังก์ชันที่ทำให้ \(P(Q(x))=P(x)R(x)\) เมื่อ \(R(x)\) เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี 3
|
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เนื่องจาก deg(P)=3=deg(R) ดังนั้น deg(P(Q(x)))=deg(P)+deg(R)=3+3=6 นั่นคือ deg(Q)=2 สมมติให้ Q=ax2+bx+c จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ (Q-1)(Q-2)(Q-3)=P(x)R(x) ...(*) แทน x=1,2,3 ใน (*) จะได้ระบบสมการจาก Q(i)=j, i,j=1,2,3 แก้ระบบสมการสามตัวแปรสามสมการ 27 ชุด แล้วตัดคำตอบ (a,b,c) ที่ทำให้เกิดสิ่งเหล่านี้ทิ้ง i) a=0(ซึ่งทำให้ deg(Q)<2) ii) สำหรับ j=1,2,3 ไม่มี i=1,2,3 ใดๆที่ทำให้ Q(i)-j=0 (ขั้นตอนนี้ใช้คอมช่วย :P) จะพบว่าไม่มีระบบสมการชุดใดเลยที่สอดคล้อง ดังนั้นจึงไม่มีพหุนาม Q ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนด Edit1+2: Thanks หลายๆครับคุณ Gools สำหรับคำท้วงติง
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 30 ตุลาคม 2005 22:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#3
|
|||
|
|||
ฝากอีกข้อนึงครับ
ถ้า พหุนาม P(x) มี P(a)=P(b)=P(c)=1 และ a,b,c เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน จงพิสูจน์ว่า P(x) ไม่มีรากเป็นจำนวนเต็ม (หรือว่าให้พิสูจน์ว่า ไม่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ทครับ ไม่แน่ใจ ผมจำโจทย์ไม่ค่อยได้)
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ |
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#5
|
||||
|
||||
สำหรับข้อของน้อง Tammy นะครับ
จะเห็นว่า \(P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+1\) เมื่อ \(Q(x)\) เป็นฟังก์ชันพหุนาม ให้ \(k\) เป็นรากของ \(P(x)\) จะได้ว่า \((k-a)(k-b)(k-c)Q(x)+1=0\) ดังนั้น \((k-a)(k-b)(k-c)Q(x)=-1\) สมมติให้ \(k\) เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า \(k-a,k-b\) และ \(k-c\) เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน 3 จำนวน เนื่องจาก -1 มีตัวประกอบแค่ 2 ตัวเท่านั้น ดังนั้นเกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น \(k\) ไม่เป็นจำนวนเต็ม |
#6
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
02 พฤศจิกายน 2005 19:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#7
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
แต่ยังหาที่ผิดของตัวเองยังไม่เจอเลย TT
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#8
|
|||
|
|||
หาให้ตายก็หาไม่เจอหรอกครับเพราะผมพิมพ์ตกไปเองแหละ กลับไปแก้แล้วนะครับ ขอบคุณครับ
|
#9
|
||||
|
||||
ตัวเลือกที่เขาให้มามีดังนี้ครับ
a.19 b.22 c.24 d.27 e.32 |
#10
|
|||
|
|||
โอ้ว...ผมทำผิดอีกแล้วหรือนี่ คุณน้อง gools ช่วยเฉลยให้หน่อยสิครับ
|
#11
|
||||
|
||||
ยังไม่ได้แก้ด้านบนหรือตรวจคำตอบที่รันไว้บนคอม แต่มาตอบก่อนครับ (อ้างจากที่ผมโพสต์ไว้ด้านบน)
เท่าที่ใช้คอมไล่ๆดู มีคำตอบอยู่ทั้งหมด 22 ชุดครับ โดยตัดคำตอบที่ a=0 ทิ้งอย่างเดียวเท่านั้น ถูกไหมเอ่ย
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#12
|
|||
|
|||
ใช่แล้วครับคำตอบที่ถูกคงเป็น 22 อย่างที่คุณ nongtum บอก ผมคิดสะเพร่าไปเอง ไปคิดแบบการจัดลำดับ ลืมคิดไปว่าเลขมันซ้ำได้ คำตอบจึงต้องเป็น 33 - 5 = 22 หักออก 5 กรณีที่เป็น collinear คือ (Q(1), Q(2), Q(3)) = (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (1, 2, 3), (3, 2, 1) เพราะในทั้ง 5 กรณีนี้ จุด (1, Q(1)), (2, Q(2)), (3, Q(3)) อยู่บนเส้นตรงเดียวกันทำให้สมการ Q(x) ของเส้นที่ลากผ่านจุดทั้ง 3 เป็นแค่ linear ไม่ใช่ quadratic อย่างที่ต้องการครับ
|
|
|