|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
คำถามระดับมหาวิทยาลัย ที่เด็กมัธยมสามารถคิดได้
เห็นห้องนี้เงียบๆ เลยมาตั้งกระทู้ซะหน่อย
ตามหัวข้อครับ ในที่นี่เราไม่นับคำถามระดับแข่งขัน เช่น โอลิมปิก (เพราะบางทีแม้แต่เด็กมหาวิทยาลัยก็คิดไม่ออก) หรือคำถามแคลคูลัสระดับปีหนึ่งเทอมแรก ซึ่งโดยส่วนตัวแล้วไม่เห็นความแตกต่างจากระดับม.ปลายมากนัก แต่เราจะนับคำถามที่ไม่ซับซ้อนเกินไป มีแนวคิดน่าสนใจ และเจอได้ในระดับมหาวิทยาลัย และคำถามดังกล่าวควรแก้ได้โดยพึ่งพาทฤษฏีไม่เกินระดับมัธยมปลาย ว่าแล้วก็เข้าคำถามดีกว่า 1. ชายสองคนมีวัวด้วยกันอยู่ x ตัว และขายวัวทั้งหมดตัวละ x ดอลลาร์ แล้วนำเงินที่ได้ทั้งหมดไปซื้อแกะตัวละ 12 ดอลลาร์ แต่ทว่าเงินที่ได้จากการขายวัวหารสิบสองไม่ลงตัว พวกเขาจึงเอาเงินที่เหลือไปซื้อลูกแกะได้หนึ่งตัวพอดี ต่อมาไม่นานนักพวกเขาตกลงที่จะแบ่งแกะกันเป็นสองฝูงเท่าๆกัน (จำนวนตัวเท่ากัน) ซึ่งชายคนที่ได้ฝูงแกะที่มีลูกแกะอยู่เสียเปรียบ(เพราะลูกแกะราคาถูกกว่า) ชายอีกคนจึงให้ปี่ของเขาเป็นการชดเชยส่วนต่าง อยากทราบว่าปี่อันนี้ราคากี่ดอลลาร์ หากใครต้องการโพสต์คำตอบพร้อมแนวคิด หรือโพสต์คำถามเพิ่มเติม เชิญได้ตรงนี้เลยครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#2
|
||||
|
||||
ไม่ได้สังเกตว่ามีหัวข้อนี้อยู่ด้วย เอาเป็นว่าผมช่วยเพิ่มข้อสองให้อีกหนึ่งข้อ (เคยเฉลยในเว็บอื่นนานมากแล้ว) เป็นข้อสอบประถมศึกษาระดับโลกที่ฮ่องกง(PO LEUNG KUK) เอาไว้ฝึกสมองให้คิดในใจยามว่างได้ดีครับ
2. ชาย 3 คนมีเหรียญทองกองรวมกันอยู่ราวๆ 200 กว่าเหรียญ ครั้งแรกเขาแบ่งกันคนละ 1/2 , 1/3 และ 1/6 ของจำนวนเหรียญทั้งหมดตามลำดับได้หมดกองพอดี จากนั้นทั้ง 3 คนก็คืนเหรียญทองทั้งหมดกับไปเป็นกองเหมือนเดิม ครั้งต่อมาชายทั้ง 3 คน แต่ละคนต่างก็หยิบเหรียญทองในกองออกมาอีกจนเหรียญในกองหมดพอดี จากนั้นชายคนแรกก็นำเอาเหรียญทองจำนวน 1/2 ของที่เขาหยิบมาได้ทั้งหมดกลับคืนไปในกอง ชายคนที่สองก็นำเหรียญทองจำนวน 1/3 ของที่เขาหยิบมาได้ทั้งหมดกลับคืนไปในกอง และชายคนที่สามนำเหรียญทองจำนวน 1/6 ของที่เขาหยิบมาได้ทั้งหมดกลับคืนไปในกองเช่นกัน ถ้านำจำนวนเหรียญทองทั้งหมดที่ถูกคืนกลับมาในกองมาแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆกันแล้วแจกให้กับชายแต่ละคน จะทำให้จำนวนเหรียญทองที่ชายแต่ละคนมีอยู่ทั้งหมดตอนนี้มีจำนวนเท่ากับจำนวนเหรียญทองที่แต่ละคนมีอยู่ในตอนที่เขาแบ่งกันครั้งแรกพอดี ถามว่าจำนวนเหรียญทองที่มีอยู่ในกองก่อนการแบ่งครั้งแรกมีจำนวนทั้งหมดกี่เหรียญ ตรงที่เขียนว่า "แต่ละคนต่างก็หยิบเหรียญทองในกองออกมาอีกจนเหรียญในกองหมดพอดี" หมายความว่า จำนวนเหรียญทองที่แต่ละคนหยิบได้ ไม่จำเป็นต้องเท่ากันกับที่แบ่งกันในครั้งแรก โอ๊ะโอ ดูเหมือนว่าคำถามผมจะไม่ตรงกับหัวข้อสักเท่าไร บังเอิญว่าอ่านปัญหาข้อแรก แล้วนึกถึงปัญหาข้อที่สองขึ้นมา เอาเป็นว่าขอฝากไว้สักข้อละกัน เพราะผมเคยเห็นหลายคนแก้ปัญหาข้อนี้ด้วยการใช้กำลังเข้าทุบตีอย่างบ้าคลั่ง สุดท้ายก็หมดแรง และโยนงานทั้งหมดให้คอมพิวเตอร์ช่วยแก้อีกต่างหาก
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 12 มิถุนายน 2005 12:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#3
|
||||
|
||||
ไม่เป็นไรครับตุณ top ดีซะอีกที่คำถามจะได้หลากหลาย(ตอนตั้งกระทู้ตอนแรก บังเอิญมีคนมาตั้งกระทู้ใหม่ต่อ นึกว่ากระทู้จะตายเสียแล้ว ) คำถามข้อสองนี้เหมาะมากสำหรับเด็กมอสาม ส่วนข้อแรก ไม่ยากอย่างที่คิด ลองคิดดูนะครับ
ให้ c แทนจำนวนเหรียญทั้งหมด และ x,y,z แทนจำนวนเหรียญที่ชายทั้งสามคนหยิบไปในครั้งที่สอง ตามเงื่อนไขโจทย์เราจะได้ว่า\[ เปิดกว้างสำหรับคำถามอื่นๆเสมอครับ \begin{array}{rclcl}\\ \frac{1}{2}c&=&x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}z)&=&\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}y+\frac{1}{18}z\\ \frac{1}{3}c&=&y-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}z)&=&\frac{1}{6}x+\frac{7}{9}y+\frac{1}{18}z\\ \frac{1}{6}c&=&z-\frac{1}{6}z+\frac{1}{3}(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}z)&=&\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y+\frac{8}{9}z\\ \ c&&&=&x+y+z\\ \end{array}\] แก้สมการหา x,y,z ในเทอมของ c จะได้ \((x,y,z)=(\frac{33}{47}c,\frac{13}{47}c,\frac{1}{47}c)\) แต่ตามเงื่อนไขที่โจทย์ให้มา จะได้ \(47\cdot6|c\) และเนื่องจาก 200<c<300 จะได้ \(c=47\cdot6=282\) เป็นคำตอบ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#4
|
||||
|
||||
ข้อ 1 ราคาปี่เป็นสองเท่าของราคาลูกแกะรึเปล่า และคำถามนี้อยู่ในเรื่องใดของระดับมหาวิทยาลัยครับ
เนื่องจากเงินที่ได้จากการขายวัวคือ \( x^2 \) หารด้วย 12 ไม่ลงตัว ดังนั้น \( x \) จึงหารด้วย 2 และ 3 ไม่ลงตัว หรือ \( x \) หารด้วย 6 ไม่ลงตัวนั่นเอง \( x \) จึงเขียนได้ในรูป \( 6m+n \) โดยที่ \( n = 1,2,3,4,5 \) \( x^2 = (6m+n)^2 = 36m^2 + 12mn + n^2 \) \( \frac{x^2}{12} = 3m^2 + mn + \frac{n^2}{12} \) ราคาลูกแกะ คือ เศษเหลือจากการหาร \( x^2 \) ด้วย 12 จึงเท่ากับ เศษเหลือจากการหาร \( n^2 \) ด้วย 12 นอกจากนี้พวกเขาแบ่งแกะกันเป็นสองฝูงเท่าๆกัน หรือ \( 2 | \lceil 3m^2 + mn + \frac{n^2}{12} \rceil \) กรณี \( n = 1,2,3 \) จะได้ \( 2 | (3m^2 + mn + 1) \) จะพบว่ากรณีนี้ \( m \) ต้องเป็นจำนวนคี่ และ \( n \) ต้องเป็นจำนวนคู่เท่านั้น ซึ่งก็เหลือเพียง \( n = 2 \) เท่านั้น กรณี \( n = 4 \) จะได้ \( 2 | (3m^2 + 4m + 2) \) จะพบว่ากรณีนี้ \( m \) ต้องเป็นจำนวนคู่เท่านั้น กรณี \( n = 5 \) จะได้ \( 2 | (3m^2 + 5m + 3) \) จะพบว่ากรณีนี้เป็นไปไม่ได้ ไม่ว่า \( n = 2 \) หรือ \( n = 4 \) ล้วนมีเศษเหลือจากการหาร \( n^2 \) ด้วย 12 เป็น 4 ทั้งสิ้น ดังนั้น ราคาลูกแกะจึงเป็น 4 ดอลลาร์ และเนื่องจาก ราคาปี่ + ราคาลูกแกะ = ราคาแกะ ดังนั้น ราคาปี่ = 12 - 4 = 8 ดอลลาร์ เห็นได้ชัดว่าจำนวนเหรียญทั้งหมดต้องหารด้วย 6 ลงตัว หลังจากลองผิดลองถูกได้สักพักหนึ่ง จะเริ่มรู้สึกละครับว่าปัญหาข้อนี้ทำจากด้านหน้าตรงๆได้ลำบาก เพราะขอบเขตของการลองแทนค่ามันเยอะเกินไป (หากคิดในใจ ) แต่หากใครลองคิดย้อนกลับจะเกิดสิ่งมหัศจรรย์ขึ้น คือ แทนที่เราจะเริ่มจาก ชายทั้งสามแบ่งเหรียญกันไปเป็นจำนวนที่เราไม่ทราบ จากนั้นทั้งสามแบ่งเหรียญเข้ากองกลาง และ ... ก็ให้สมมติย้อนกลับดังนี้ ขั้นที่ 1 เหรียญถูกแบ่งให้กับชายทั้งสามเป็น \(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{3} \) และ \( \frac{1}{6} \) ของจำนวนเหรียญทั้งหมดเรียบร้อยแล้ว ขั้นที่ 2 จากนั้นเราจึงขอเหรียญคืนจากชายทั้งสามคนละ \( x \) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด เพื่อนำมากองรวมกัน ขั้นที่ 3 และแจกให้กับชายทั้งสามตามสัดส่วนของเหรียญที่แต่ละคนถืออยู่ แต่ละคนก็จะได้เหรียญเป็นจำนวนที่โจทย์ไม่ได้ระบุไว้นั่นเอง ขั้นที่ 1 ชายคนแรกได้มา \( \frac{1}{2} \) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด, ขั้นที่ 2 เมื่อจ่ายคืนให้กองกลาง \( x \) ของจำนวนเหรียญทั้งหมดแล้ว จึงเหลือจำนวนเหรียญคิดเป็น \(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) ของจำนวนเหรียญในขั้นที่ 3, จำนวนเหรียญในขั้นที่ 3 จึงเป็น \(\frac{2}{1}(\frac{1}{2} - x)\) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด ขั้นที่ 1 ชายคนที่สองได้มา \(\frac{1}{3}\) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด, ขั้นที่ 2 เมื่อจ่ายคืนให้กองกลาง \( x \) ของจำนวนเหรียญทั้งหมดแล้ว จึงเหลือจำนวนเหรียญคิดเป็น \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) ของจำนวนเหรียญในขั้นที่ 3, จำนวนเหรียญในขั้นที่ 3 จึงเป็น \(\frac{3}{2}(\frac{1}{3} - x)\) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด ขั้นที่ 1 ชายคนที่สามได้มา \(\frac{1}{6}\) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด, ขั้นที่ 2 เมื่อจ่ายคืนให้กองกลาง \( x \) ของจำนวนเหรียญทั้งหมดแล้ว จึงเหลือจำนวนเหรียญคิดเป็น \(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\) ของจำนวนเหรียญในขั้นที่ 3, จำนวนเหรียญในขั้นที่ 3 จึงเป็น \(\frac{6}{5}(\frac{1}{6} - x)\) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด ขั้นที่ 3 นำจำนวนเหรียญของชายทั้งสามมารวมกัน จะได้ \( \begin{array}{rcl} & = & 2(\frac{1}{2} - x) + \frac{3}{2}(\frac{1}{3} - x) + \frac{6}{5}(\frac{1}{6} - x) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด\\ & = & 1 - 2x +\frac{1}{2} - \frac{3x}{2} + \frac{1}{5} - \frac{6x}{5} ของจำนวนเหรียญทั้งหมด\\ & = & \frac{17}{10} - \frac{47x}{10} ของจำนวนเหรียญทั้งหมด\\ & = & 1 + (\frac{7}{10} - \frac{47x}{10}) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด\\ \end{array} \) ดังนั้น \(x = \frac{7}{47}\) ของจำนวนเหรียญทั้งหมด แสดงว่าจำนวนเหรียญทั้งหมด หารด้วย 47 ลงตัว นอกจากนี้เราทราบตั้งแต่แรกแล้วว่า หารด้วย 6 ลงตัวเช่นกัน ดังนั้นจำนวนเหรียญทั้งหมดต้องหารด้วย 6\(\times\)47= 282 ลงตัว และเนื่องจาก 282 อยู่ในช่วงที่โจทย์กำหนดไว้พอดี จึงได้ว่าจำนวนเหรียญทั้งหมดที่มีอยู่ในกอง ก่อนการแบ่งครั้งแรกมีจำนวนทั้งหมด 282 เหรียญ
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 12 มิถุนายน 2005 19:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#5
|
||||
|
||||
ข้อแรกพบได้ใน quadratic residues ครับ
ให้ s แทนจำนวนแกะ และ l แทนราคาลูกแกะ จากโจทย์จะได้ \(x^2=12s+l\) สำหรับจำนวนเต็ม z ใดๆจะได้ว่า \(z^2\equiv0, 1\ (mod\ 3)\) และ \(z^2\equiv0, 1\ (mod\ 4)\) ดังนั้นโดย chinese remainder theorem จะได้ \(z^2\equiv0, 1, 4, 9\ (mod\ 12)\) ให้ h แทนราคาปี่ เพราะ 12-h=l+h จะได้ l=12-2h ดังนั้น l ต้องเป็นจำนวนคู่ (=4, เพราะ 12 หาร x2 ไม่ลงตัว) และจะได้ h=4 (ตรงนี้หากจะมองว่าปี่ที่ให้ คนให้ไม่เสียอะไรเลย ก็จะเป็นอย่างที่คุณ gon ทำครับ แต่ในที่นี้เรามองว่าคนให้ปี่ก็เสียประโยชน์)
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
|
|