รบกวนช่วยแนะหาค่าอนุกรมเหล่านี้ให้ด้วยครับ

[tongkub]

รบกวนขอแนวคิดด้วยนะครับ

1.$\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{{n}{2^n}}$

2.$\sum_{n = 1}^{\infty} arccot{2n^2}$ >>> ได้ $\frac{\pi}{4}$ หรือเปล่าครับ

3.$\sum_{n = 1}^{179} sec^2n$

[Yuranan]

ข้อ 1 ลองใช้อนุกรมนี้ดูครับ $ln(\frac{1}{1-x})=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+...$ แล้วแทน $x=\frac{1}{2}$ จะได้ว่าผลบวกของอนุกรมนี้คือ $log(2)$
ส่วนข้อ 2 โจทย์ใช่แบบนี้ป่าวครับ $\sum_{n = 1}^{\infty} arccot(2n^2)$

[Mengsk]

ข้อ 1 เป็นอนุกรมผสมครับ
หา r ของอนุกรมที่ให้มาก่อน แล้ว เอา r ไปหารอนุกรมเดิมครับ จะได้สองสมการจับลบกันได้

ผิดพลาดประการใด แนะนำได้นะครับ มือใหม่ครับ

[Yuranan]

ถ้าเป็นแบบที่ผมได้ถามไว้ จะได้ว่า $\sum_{n = 1}^{m} arccot(2n^2)=\sum_{n = 1}^{m} arctan(\frac{1}{2n^2})=arctan(\frac{m}{m+1})$ ที่เหลือก็แค่หาลิมิตเมื่อ $m\rightarrow \infty$ และจะได้ว่าคำตอบคือ $\frac{\pi}{4}$

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mengsk

ข้อ 1 เป็นอนุกรมผสมครับ
หา r ของอนุกรมที่ให้มาก่อน แล้ว เอา r ไปหารอนุกรมเดิมครับ จะได้สองสมการจับลบกันได้

ผิดพลาดประการใด แนะนำได้นะครับ มือใหม่ครับ

ช่วยแสดงให้ดูหน่อยได้ไหมครับ

[Mengsk]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

ช่วยแสดงให้ดูหน่อยได้ไหมครับ

โอะ ลองทำแล้วลบกันได้ แต่เหมือนจะได้สมการเดิม ปล่อยไก่ไปเต็มๆครับ อายจัง

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mengsk

โอะ ลองทำแล้วลบกันได้ แต่เหมือนจะได้สมการเดิม ปล่อยไก่ไปเต็มๆครับ อายจัง

ไม่เป็นไรครับ ผมว่าถ้าอนุกรมแบบนี้ใช้วิธีคุณน่าจะทำได้ครับ $$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$$ บางทีคุณอาจมองโจทย์ผิดครับ

[Amankris]

ข้อสามนี่มีหน่วยไหม

ถ้าไม่มีหน่วยก็คงจะหาไม่ได้นะครับ

[Mengsk]

#7
อ่าครับ ใจร้อนไปหน่อย ขอบคุณสำหรับการชี้แนะ

[tongkub]

ข้อ 3 เอามาจากกระทู้นี้น่ะครับ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=12777 จัดรูปเท่าไหร่ก็ออกซักที ได้เป็นเศษส่วนครับ

[Amankris]

ข้อสามนะครับ มีหน่วยเป็นองศาด้วยนะ

Solution

จาก $$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$

ดังนั้น $$(1+i\tan\theta)^n=\dfrac{\cos n\theta}{(\cos\theta)^n}+i\dfrac{\sin n\theta}{(\cos\theta)^n}$$

ใช้ $\textrm {Binomial}$ กระจายออกมา แล้วเทียบส่วนจินตภาพ
$$\displaystyle \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}\binom{n}{2k+1}(-1)^k(\tan\theta)^{2k+1}=\dfrac{\sin n\theta}{(\cos\theta)^{n}}$$

ให้ $x=(\tan\theta)^2$ และ $n=180$
$$\displaystyle \sum_{k=0}^{89}\binom{180}{2k+1}(-1)^kx^k=\dfrac{\sin180\theta}{\tan\theta\cdot(\cos\theta)^{180}}$$

พิจารณา $\theta=1^\circ,2^\circ,3^\circ,\ldots,89^\circ$ พบว่าพจน์ขวามือจะเป็นศูนย์

หมายความว่าพหุนามนี้มี $89$ รากคือ $(\tan1^\circ)^2,(\tan2^\circ)^2,(\tan3^\circ)^2,\ldots(\tan89^\circ)^2$

ดังนั้น $$(\tan1^\circ)^2+(\tan2^\circ)^2+(\tan3^\circ)^2+\ldots+(\tan89^\circ)^2=-\dfrac{\dbinom{180}{177}(-1)^{88}}{\dbinom{180}{179}(-1)^{89}}=\dfrac{15931}{3}$$

นั่นคือ $$\sum_{n=1}^{89}(\sec n^\circ)^2=\sum_{n=1}^{89}(1+(\tan n^\circ)^2)=89+\dfrac{15931}{3}=\dfrac{16198}{3}$$

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ข้อสามนะครับ มีหน่วยเป็นองศาด้วยนะ

Solution

จาก $$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$

ดังนั้น $$(1+i\tan\theta)^n=\dfrac{\cos n\theta}{(\cos\theta)^n}+i\dfrac{\sin n\theta}{(\cos\theta)^n}$$

ใช้ $\textrm {Binomial}$ กระจายออกมา แล้วเทียบส่วนจินตภาพ
$$\displaystyle \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}\binom{n}{2k+1}(-1)^k(\tan\theta)^{2k+1}=\dfrac{\sin n\theta}{(\cos\theta)^{n}}$$

ให้ $x=(\tan\theta)^2$ และ $n=180$
$$\displaystyle \sum_{k=0}^{89}\binom{180}{2k+1}(-1)^kx^k=\dfrac{\sin180\theta}{\tan\theta\cdot(\cos\theta)^{180}}$$

พิจารณา $\theta=1^\circ,2^\circ,3^\circ,\ldots,89^\circ$ พบว่าพจน์ขวามือจะเป็นศูนย์

หมายความว่าพหุนามนี้มี $89$ รากคือ $(\tan1^\circ)^2,(\tan2^\circ)^2,(\tan3^\circ)^2,\ldots(\tan89^\circ)^2$

ดังนั้น $$(\tan1^\circ)^2+(\tan2^\circ)^2+(\tan3^\circ)^2+\ldots+(\tan89^\circ)^2=-\dfrac{\dbinom{180}{177}(-1)^{88}}{\dbinom{180}{179}(-1)^{89}}=\dfrac{15931}{3}$$

นั่นคือ $$\sum_{n=1}^{89}(\sec n^\circ)^2=\sum_{n=1}^{89}(1+(\tan n^\circ)^2)=89+\dfrac{15931}{3}=\dfrac{16198}{3}$$

สุดยอดมากๆครับ ผมนั่งคิดอยู่นานเลยไม่ออกสักที ผมว่าความรู้ที่ได้จากข้อนี้สามารถนำไปทำเป็นโจทย์ได้อีกเยอะนะครับแล้วถ้าเปลี่ยโจทย์เป็นแแบบนี้ล่ะครับ $$sec^3(1^o)+sec^3(2^o)+...+sec^3(89^o)$$ จะทำแบบไหนดีครับ

[Amankris]

@#12

ผมว่าไม่มีวิธีหานะครับ

ลองคำนวณได้ประมาณนี้ $226243.115$