ช่วยคิดโจทย์สมาคมด้วยครับ

[หงส์ดรุณ]

1.ให้ $A = \{x/x\in [0,\frac{3\pi }{2}] และ sin^6x + cos^6x = \frac{1}{4} $ ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน A = ?

2.ให้ $sinA + sinB = 1$ และ $cosA + cosB = \frac{3}{2}$ ดังนั้น $cos(A+B)$ มีค่า = ?

3.the minimum value of the function
$f(x) = \frac{sin(x)}{\sqrt{1-cos^2(x)} } + \frac{cos(x)}{\sqrt{1-sin^2(x)} } + \frac{tan(x)}{\sqrt{sec^2(x)-1}} + \frac{cot(x)}{\sqrt{csc^2(x)-1}}$
as x varies over all numbers in the largest possible domain of f,is...

4.ค่าของ $cos^2\frac{\pi }{7} + cos^2\frac{2\pi }{7} + cos^2\frac{4\pi }{7} = ?$

[tongkub]

2. แปลงเป็นมุม half sum

$2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) = 1$

$2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) = \frac{3}{2}$

$tan(\frac{A+B}{2}) = \frac{2}{3}$

แล้วก็ลุยต่อเลยครับ

[กิตติ]

ข้อ 2 นำค่า$tan\frac{(A+B)}{2} $ที่ได้ไปใส่ในสูตร

$cos2A=\frac{1-tan^2A}{1+tan^2A} $

1.ให้ $A = \{x/x\in [0,\frac{3\pi }{2}] และ sin^6x + cos^6x = \frac{1}{4} $ ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน A = ?

$ sin^6x + cos^6x = \frac{1}{4} $

$ sin^6x + cos^6x = (sin^2x)^3+(cos^2x)^3 =(sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)$

$=sin^4x-sin^2x(1-sin^2x)+cos^4x$

$=sin^4x-sin^2x+sin^4x+(1-sin^2x)^2$

$=3sin^4x-3sin^2x+1$

$3sin^4x-3sin^2x+1 = \frac{1}{4}$

$4sin^4x-4sin^2x+1 = $

$(2sin^2x -1)^2= 0$

$sinx =\pm \frac{1}{\sqrt{2} } $

$A=\left\{\,\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4} ,\frac{5\pi }{4}\right\} $

ผลรวมของสมาชิกในเซต$A$ เท่ากับ $\frac{9\pi }{4}$

[tongkub]

ข้อ 3.ดูจากของคุณอา กิตติ ข้อความข้างล่างเลยครับ

4. $cos^2\frac{\pi}{7} + cos^2\frac{2\pi}{7} + cos^2\frac{4\pi}{7}$

แปลง $cos^2A = \frac{1+cos2A}{2}$

= $\dfrac{ 3 + cos\dfrac{2\pi}{7} + cos\dfrac{4\pi}{7} + cos\dfrac{8\pi}{7}}{2}$

จาก $cos\frac{8\pi}{7} = cos\frac{6\pi}{7}$

$\dfrac{ 3 + cos\dfrac{2\pi}{7} + cos\dfrac{4\pi}{7} + cos\dfrac{6\pi}{7}}{2}$

พิจารณาเฉพาะ $cos\dfrac{2\pi}{7} + cos\dfrac{4\pi}{7} + cos\dfrac{6\pi}{7}$

คูณด้วย $2sin\frac{\pi}{7}$ ทั้งบนและล่าง และจัดรูปนิดเดียวครับ

$ \therefore cos\dfrac{2\pi}{7} + cos\dfrac{4\pi}{7} + cos\dfrac{6\pi}{7} = \frac{-1}{2}$

$\dfrac{ 3 + \frac{-1}{2}}{2}$

=$ \frac{5}{4}$

[กิตติ]

3.the minimum value of the function
$f(x) = \frac{sin(x)}{\sqrt{1-cos^2(x)} } + \frac{cos(x)}{\sqrt{1-sin^2(x)} } + \frac{tan(x)}{\sqrt{sec^2(x)-1}} + \frac{cot(x)}{\sqrt{csc^2(x)-1}}$
as x varies over all numbers in the largest possible domain of f,is...

จาก$\sqrt{x^2} = \left|\,x\right| $

$f(x) = \frac{sin(x)}{\left|\,sin(x)\right| } + \frac{cos(x)}{\left|\,cos(x)\right|} + \frac{tan(x)}{\left|\,tan(x)\right|} + \frac{cot(x)}{\left|\,cot(x)\right|}$

ถ้า$x$ เป็นมุมในquadrant $Q_2$ กับ $Q_4$ พิจารณาเครื่องหมายของค่า$sinx,\quad cosx,\quad tanx,\quad cotx$
จะมีค่าเป็นบวก 1 ค่า และค่าเป็นลบอีก 3 ค่า ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ$f(x)$ เท่ากับ $-2$
ไม่รู้ว่าข้อนี้ผมมั่วถูกไหมครับ

น้องtongkub....ข้อ4

[tongkub]

ขอบคุณคุณอากิตติมากครับ ข้อ 3 สะเพร่าเองจริงๆ ขอบคุณมากครับ

[กิตติ]

อย่าเพิ่งเชื่อหมดครับ รอให้มีคนมาทักก่อนว่าไม่ถูกก่อนดีกว่าครับ ผมก็สะเพร่าประจำเหมือนกันแหละครับ